1.将A(3，4)按a=(1，2)平移，得到的对应点为(　　 )

A.(4，6)　　　　　　　　　　　　 B.(2，2)

C.(4，2)　　　　　　　　　　　　 D.(2，6)

答案：A

解析：x′=x+h=4,y′=y+k=6.

14.设椭圆+y²=1的两个焦点是F₁(-c,0)与F₂(c,0)(c>0),且椭圆上存在点M，使得·=0.

(1)求实数m的取值范围；

(2)在直线l:y=x+2上存在一点E，使得?|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；

(3)在条件(2)下的椭圆方程，是否存在斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，满足=，且使得过点N(0，-1)、Q的直线，有·=0？若存在，求出k的取值范围，若不存在，说明理由.

解析：(1)∵|MF₁|+|MF₂|=2,|MF₁|²+|MF₂|²=4m,

而|MF₁|²+|MF₂|²≥，

∴4m≥2(m+1),解得m≥1.

(2)由

得(m+2)x²+4(m+1)x+3(m+1)=0.

Δ=16(m+1)²-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0.

解得m≥2或m≤-1(舍去)，∴m≥2.

此时|EF₁|+|EF₂|=2m+1≥2,

当且仅当m=2时|EF₁|+|EF₂|取得最小值2，此时椭圆方程为+y²=1.

(3)设两点AB的坐标分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，中点Q(x,y)，

则+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0,

∴AB中点Q的轨迹为直线

y=-x　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

在椭圆内的部分.

又由·=0，得过点N(0，-1)，且斜率为-的直线方程为y=-x-1,　　　　　 ②

由①②可得点Q的坐标为(,),

∵点Q必在椭圆内，

∴<1.解得k²<1,

又k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1).

13.设椭圆²=1(a>b>0)的右焦点为F，斜率为1的直线l过点F，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点.已知椭圆上存在一点C使+=.

(1)求椭圆的离心率;

(2)若||=15，求椭圆的方程.

解析：(1)直线l方程为y=x-c代入=1(a>b>0)，得(a²+b²)x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0.设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，

则x₁+x₂=,y₁+y₂=-

∵=+，

∴C点的坐标为(,-).

∵C在椭圆上，∴=1，即=1.

∴4c²=a²+b²,∴5c²=2a².∴e=.

(2)∵|AB|=|AF|+|BF|=(a-ex₁)+(a-ex₂)=2a-e(x₁+x₂)=2a-.

已知a=15,

∴a=10,e=,a=2.∴b²=60.

∴椭圆方程为=1.

12.已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件

(1)焦点F₁的坐标为(3,0);

(2)长半轴长为5.

则可求得此椭圆方程为=1(※)

问可用其他什么条件代替条件(2)，使所求得的椭圆方程仍为(※)?请写出两种替代条件，并说明理由.

解析：①短半轴长为4；②右准线方程为x=;③离心率为e=；④点P(3,) 在椭圆上；⑤椭圆上两点间的最大距离为10；……(答案是开放的)

11.A、B为椭圆x²+y²=a²(a>0)上的两点，F₂为右焦点，若|AF₂|+|BF₂|=a，且A、B的中点P到左准线的距离为，求该椭圆的方程.

解：设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d₁、d₂、d，则由椭圆的第二定义及几何性质得：

|AF₂|=ed₁=d₁,|BF₂|=d₂,

d=.

又2d=d₁+d₂,∴5a-3=2d.

又a=|AF₂|+|BF₂|=(d₁+d₂),

∴d₁+d₂=2a.∴5a-3=2a,

∴a=1,

∴该椭圆的方程为x²+y²=1.

10.(2010江苏南京一模，15)椭圆=1上一点P到右焦点(1，0)的距离为，则点P到x轴的距离为______________.

答案：

解析：|PF|=a-ex_p=,又a=2,e=,故x_p=-1,|y_p|=.

9.在椭圆=1(a>b>0)中,左焦点为F,右顶点为A,短轴上方端点为B,若该椭圆的离心率为,则∠ABF=________________.

答案：90°

解析：由=知是方程x²+x-1=0的根，∴()²+=1=0b²=ac，从而可知∠ABF=90°.

8.椭圆=1的长轴长是短轴长的2倍，则a的值为___________________.

答案：4或.

解析：分两种情况：①a²>a时，据题意有a=2a=4;②当a²<a时,a=2aa=.

7.(2010江苏常熟模拟，3)已知椭圆=1的左、右焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一点，线段PF₁交y轴于点M，若|PF₁|是|PF₂|与?|F₁F₂|的等差中项，则等于(　　 )

A.3　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　 C.5　　　　　　　　　 D.4

答案：D

解析：∵2|PF₁|=|PF₂|+|F₁F₂|，又|PF₁|+|PF₂|=6，|F₁F₂|=4，故|PF₁|=,|PF₂|=,又=a+ex_p,x_p=,

∴==4.

6.已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F₁、F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个交点，若=e，则e的值为(　　 )

A.　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

答案：A

解析：如右图，设椭圆方程为=1，则F₁(-c,0),F₂(c,0).抛物线准线方程为x=-3c,椭圆与抛物线交点为P(x₀,y₀),则|PF₁|=e(x₀+)=ex₀+a,|PF₂|=x₀+3c.∵=e,∴ex₀+a=e(x₀+3c),a=3ec.∴e²=,e=.