9.函数y=xlnx在区间(0，1)上是(　 )

A.单调增函数

B.单调减函数

C.在(0，)上是减函数，在(,1)上是增函数

D.在(0，)上是增函数，在(,1)上是减函数

分析 本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性?

解 y′=lnx+1,当y′>0时，解得x>.

又x∈(0,1),

∴<x<1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y′<0且x∈(0,1),得0<x<,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.

答案 C

8.函数y=x³+在(0，+∞)上的最小值为(　 )

A.4　　　　 B.5　　　　　 C.3　　　　 D.1

分析 本题主要考查应用导数求函数的最值.

解 y′=3x²-,令y′=3x²-=0,即x²-=0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在(0,+∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在(0，+∞)上的最小值为y=f(1)=4.

答案 A

7.曲线y=x³-3x上切线平行于x轴的点为(　　 )

A.(0,0),(1,3)　　　　　　　 B.(-1,2),(1,-2)

C.(-1,-2),(1,2)　　　　　　 D.(-1,3),(1,3)

分析 本题主要考查导数的应用.根据与x轴平行的直线的斜率为零,构造方程f′(x)=0解得x的值,进一步求出交点的坐标即可.

解 y′=3x²-3,令3x²-3=0,得x=±1.

代入曲线方程得

答案 B

6.一点沿直线运动,若由始点起经过ts后的路程是s=t²+,则速度为0的时刻为　　　　

s末.(　　 )

A.0　　　　　 B.2　　　　　 C.3　　　　　 D.1

分析 本题主要考查导数的物理意义,即位移对时间的导数是瞬时速度.

解 s′=t-,令s′=t-=0,得t=1.

答案 D

5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是(　 )

分析 本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.

解 函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(-∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.

答案 C

4.设在［0,1］上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是(　 )

A.f(0)<0　　　　　 B.f(1)>0　　　　　　 C.f(1)>f(0)　　　　　 D.f(1)<f(0)

分析 本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.

解 因为f′(x)>0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.

答案 C

3.物体自由落体运动方程为s=s(t)=gt²,g=9.8 m/s²,若v=,那么说法正确的是(　 )

A.9.8 m/s是在0~1 s这段时间内的速率

B.9.8 m/s是从1 s到(1+Δt) s这段时间内的速率

C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率

D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt) s这段时间内的平均速率

分析 本题考查导数的物理意义.s(t)在某一时刻的导数为在这一时刻的瞬时速度.

解 s′=

∴s′|_t=1=g×1=g=9.8(m/s).

答案 C

2.曲线y=f(x)在点(0,0)处的导数的值是-1,则过该点的切线一定(　 )

A.平行于Ox轴

B.平行于Oy轴

C.平分第一、三象限

D.平分第二、四象限

分析 本题考查曲线的切线.曲线在某点处的导数,即为该点处切线的斜率.

解 因为f(x)在点(0,0)处的导数等于-1,即切线的斜率为-1.

根据直线的点斜式方程,可得y-0=-1×(x-0),即y=-x.故它平分第二、四象限.

答案 D

1.设函数f(x)在x=x₀处可导,则(　 )

A.与x₀、h都有关

B.仅与x₀有关，而与h无关

C.仅与h有关,而与x₀无关

D.与x₀、h均无关

解析 本题考查导数的定义.在导数的定义式中,自变量增量可正、可负,但不为0.导数是一个局部概念,它只与函数在某一点及其附近的函数值有关,与自变量增量无关.

答案 B

19.(本小题满分10分)已知A、B两地的距离是130 km.按交通法规规定,A、B两地之间的公路车速应限制在50~100 km/h.假设汽油的价格是4元/升,以x km/h速度行驶时,汽车的耗油率为(3+) L/h,司机每小时的工资是14元.那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用在什么范围内?

分析 本题考查常见函数的导数及利用导数知识解决实际问题的能力.

解 设这次行车的车速应为x km/h,总费用为y元,则y由一路的耗油费及司机的工资两部分组成.

y=　　　 4分

y′,令y′=0,得x=　　　　 6分

由于x>时,y′>0,所以函数y=在x∈［50,100］上是增函数.故最经济的车速是50 km/h.　　　　　　　　　　　　　　　 8分

y_max=

y_min=

即这次行车的总费用在139.8~178.2元之间.　　　 10分