8.在区间(0,+∞)内，函数y=e^x-x是(　　 )

A.增函数　　　　　 B.减函数　　　　　 C.先增后减　　　　　 D.先减后增

分析 本题考查利用求导的方法求函数在给定区间上的单调性.

解 ∵y′=e^x-1,又x∈(0,+∞),

∴e^x>1.∴e^x-1>0.∴y′>0.

答案 A

7.已知函数f(x)=ax³+(2a-1)x²+2,若x=-1是y=f(x)的一个极值点,则a的值为(　 )

A.2　　　　　　 B.-2　　　　　　 C.　　　　　 D.4

分析 某点的导数为零是该点为极值点的必要不充分条件.

解 f′(x)=3ax²+2(2a-1)x.

∵x=-1是y=f(x)的一个极值点,

∴3a×(-1)²+2(2a-1)×(-1)=0.

∴a=2.

答案 A

6.★若f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)在R上是增函数,则(　　 )

A.b²-4ac>0　　　　　　　　 B.b>0,c>0

C.b=0,c>0　　　 　　　　　D.b²-3ac<0

分析 本题考查导数与函数单调性的关系.

解 f′(x)=3ax²+2bx+c.

要使函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a>0)在R上是增函数,

只需f′(x)>0,即3ax²+2bx+c>0(a>0)对任意x∈R恒成立,

只需(2b)²-4×3ac<0,整理得b²-3ac<0.

答案 D

5.若函数f(x)=x³-ax²+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　 )

A.a≥3　　　　 B.a=2　　　　　 C.a≤3　　　　　　 D.0<a<3

分析 本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.

解 f′(x)=3x²-2ax=3x(x-a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x-a)≤0,即a≥2,

∴a≥3.

答案A

4.下列说法正确的是(　 )

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大

B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C.对于f(x)=x³+px²+2x+1,若|p|<,则f(x)无极值

D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值

分析 本题主要考查函数的最值与极值的关系,加深对最值与极值概念的理解.

解 函数在闭区间上的极大值与极小值的大小关系不确定;最大值并不一定是极大值,最大值有可能在区间端点处取得;函数在开区间上不一定存在最值;对C选项,f′(x)=3x²+2px+2,其中Δ=4p²-24=4(p²-6),当|p|<时,Δ<0,所以方程f′(x)=0无实根,即不存在导数为零的点.所以函数f(x)无极值.

答案 C

3.★右图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是 (　 )

A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数

B.在(1,3)内f(x)是减函数

C.在(4,5)内f(x)是增函数

D.在x=2时f(x)取到极小值

分析 本题主要考查函数的单调性、极值、最值与导函数的关系.

解 在(-2,1)上,导函数的符号有正有负,所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数;同理,函数在(1,3)上也不是单调函数.在x=2的左侧,函数在(-,2)上是增函数,在x=2的右侧,函数在(2,4)上是减函数,所以在x=2时,f(x)取到极大值;在(4,5)上导数的符号为正,所以函数在这个区间上为增函数.

答案 C

2.若函数f(x)=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是(　 )

分析 本题主要考查二次函数及导数的基础知识.

解 利用导数公式求出导函数,从而确定图象.

∵f(x)=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限,

∴->0,即b<0.

∵f′(x)=2x+b(b<0),∴图象A为所求.

答案 A

1.函数y=x³+x的单调增区间为(　 )

A.(-∞,+∞)　　　　　　　　　 B.(0,+∞)

C.(-∞,0)　　　　　　　　　　 D.不存在

分析 本题考查利用导数求函数的单调区间.

解 ∵y′=3x²+1>0恒成立，

∴y=x³+x在(-∞,+∞)上为增函数，没有减区间

答案 A

19.★(本小题满分10分)已知求m、n的值.

分析 本题考查当x→x₀时,函数的极限.关键是通过极限的运算构造方程组,求m、n.

由可知x²+mx+2含有x+2这一因式,∴x=-2为方程x²+mx+2=0的根.

∴m=3,代入进而可求得n.

也可由得

解出m,再求n.

解法一 ∵

∴x=-2为方程x2+mx+2=0的根.

∴m=3.　　 4分

又

∴n=-1.　　　　　 9分

∴m=3,n=-1.　　　 10分

∴(-2)²+(-2)m+2=0,m=3.

同上可得n=-1.

18.★(本小题满分10分)已知等差数列{a_n}的前三项为a,4,3a,前n项和为S_n,S_k=2 550.

(1)求a及k的值;

(2)求的值.

解 (1)∵a+3a=2×4,∴a=2.

∴数列{a_n}是首项为2,公差为2的等差数列.　　 2分

∵2k+×2=2550,∴k=50,

即a、k的值分别为2、50.　　 5分

(2)∵S_n=2n+×2=n²+n,

∴

∴

∴