一项是符合题目要求的。请把所选选项的字母填写到答题卡对应题目的空格内。

1．不等式的解集是

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　

(C)　　　　　　　　　　　　　 (D)　

20. (本小题满分14分)

　(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x³ + 45x² + 3240x – 5000　 (xÎN且xÎ[1, 20]); 　3分

　 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x² + 60x +3275　 (xÎN且xÎ[1, 20]). 　　2分

(2) P`(x) = – 30x² + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12)　 (xÎN且xÎ[1, 20])　　 3分

　　　 当1£ x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增,

　　　 当 12 <x £ 20时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减.

　　 ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大.　　　　　　　　　　　　 4分

　(3) 由MP(x ) =　 – 30( x – 1) ² + 3305　 (xÎN且xÎ[1, 20]).

　　 ∴当1< x £ 20时，MP (x)单调递减.　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

　MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1分

19． (本小题满分14分)

　 　由条件得：f (x )=，　　　　　　　　　　　　 4分

　 ∵a > 0,　　　　　　　

　 ∴ – (1 + a )< 0, f (x )在(–∞，a)上是减函数.

　 如果函数f (x )存在最小值，则f (x )在[a,+ ∞)上是增函数或常数.

　 ∴1 – a ³ 0,

　 得a £ 1,

　 又a > 0, ∴0< a £ 1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

　 反之，当0< a £ 1时，

　 (1 – a ) ³ 0, ∴f (x )在f[a,+ ∞)上是增函数或常数.

–(1 + a )< 0, ∴f (x )在(–∞，a)上是减函数.

∴f(x )存在最小值f(a).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 综合上述f (x )存在最小值的充要条件是0< a £ 1，此时f (x)_min = – a²　　　　 3分

18. (本小题满分14分)

解1:　 |a –b |² = | (cosx–sinx, ) |²　　　　　　　　　　　　 2分

= (cosx–sinx)² +　　　　　　　　　　　　　　　　　 3 分

= sin²(x – ) +.　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　3分

　 　Œ 0 < x < , 　∴–< x - < ,　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　∴ 0 £ sin²(C– ) < ,　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　2分

得 |a –b | Î [, ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

解2:　 |a –b |² = | a |² – a·b + | b |²　　　　　　　　　　 2分 　

　　　 = sin²–sinxcosx + (cos²x +1)　　　　　　　　　　　　　　 2分

=sin²–sinxcosx + cos²x +

= (cosx – sinx)² +　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 分

= sin²(x – ) +.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　 　Œ 0 < x < , 　∴–< x - < ,　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　∴ 0 £ sin²(C– ) < ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

得 　|a - b |²　 Î [, ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

17．(本小题满分14分)

　 由条件得: ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　 ∵S _n = a₁n + n(n – 1 )d,

　 　∴, ∵d ¹ 0 ,得,　　　　　　　　　　　

∴a _n = .　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　5分

(2) 由a _n = ³0,

　 得n £, ∴n = 2时, S_n取最大值,

∴使S_n> 0的最大n的值为4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

16. (本小题满分14分)

　　 由，得0 < x< 2 或x > 4 .　　　　　　　　　　　　　　 4 分

不等式化成：log₃(x² – 6x + 8 ) <log₃3x　　　　　　　　　　　　　　　 4分

得x² – 9x + 8< 0. 　

即(x – 8 )( x – 1) < 0,

解得 1< x < 8时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

综上得不等式的解为 1 < x < 2或 4 < x < 8.　　　　　　　　　　　　　 2分

15. (本小题满分14分)

　　 ∵(b + c)x ² –2ax + (b – c ) = 0有相等实根，　

∴⊿= 4a ² – 4( b + c )(b – c) = 0，　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　3分

∴ a ² + c ² – b ² = 0，　

∴ B = 90° .　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

　　 又sinCcosA – cosCsinA=0 ,

　　 得 sin (C – A) = 0, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

　∵–< C – A < 　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

　∴ A = C.

　　 ∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形.　　　　　　　　　　　　　　 3分

13.　 　　14. .或.

11.　 ( – ¥ ,3]　　　　　　　　 .　　　　　 12.　 　　　.　 .

20. (本小题满分14分)

某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x + 45x² – 10x³(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

　　 (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

　　 (3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学参考评分标准(文科)