43．(天津卷)某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。

(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；

(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；

(3)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列．

本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及分析和解决实际问题的能力.满分12分

解：(Ⅰ)记“射手射击1次，击中目标”为事件，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率

(Ⅱ)射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率

(Ⅲ)由题设，“”的概率为

(且)

所以，的分布列为：

	3	4	…	k	…
P			…		…

42．(四川卷)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响

(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

(Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率。(结果保留三位小数)

本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。

解：记“甲理论考核合格”为事件；“乙理论考核合格”为事件；“丙理论考核合格”为事件；记为的对立事件，；记“甲实验考核合格”为事件；“乙实验考核合格”为事件；“丙实验考核合格”为事件；

(Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件，记为的对立事件

解法1：

解法2：

所以，理论考核中至少有两人合格的概率为

(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格” 为事件

　　 所以，这三人该课程考核都合格的概率为

41．(陕西卷)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是,　 , .现3人各投篮1次,求:

(Ⅰ)3人都投进的概率;

(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.

解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件A₁ ， "乙投进"为事件A₂ ， "丙投进"为事件A₃，

则 P(A₁)= ， P(A₂)= ， P(A₃)= ，

∴ P(A₁A₂A₃)=P(A₁) ·P(A₂) ·P(A₃) = × ×=

　∴3人都投进的概率为

(Ⅱ) 设“3人中恰有2人投进"为事件B

P(B)=P(A₂A₃)+P(A₁A₃)+P(A₁A₂)

　 =P()·P(A₂)·P(A₃)+P(A₁)·P()·P(A₃)+P(A₁)·P(A₂)·P()

　 =(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) =

　∴3人中恰有2人投进的概率为

40．(陕西卷)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .

(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;

(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.

解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A₁ ， "乙投篮1次投进"为事件A₂ ， "丙投篮1次投进"为事件A₃， "3人都没有投进"为事件A ． 则 P(A₁)= ， P(A₂)= ， P(A₃)= ，

∴ P(A) = P(..)=P()·P()·P()

　= [1－P(A₁)] ·[1－P (A₂)] ·[1－P (A₃)]=(1－)(1－)(1－)=

∴3人都没有投进的概率为 ．

(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B(3， )，

P(ξ=k)=C₃^k()^k()^3－k　 (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× = ．

解法二: ξ的概率分布为:　

Eξ=0×+1×+2×+3×= 　 ．

39．(山东卷)盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.

解：(I)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意

(II)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则

(III)“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为　　

所以　　　 .

38．(山东卷)袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求： 　(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量的概率分布和数学期望；

(3)计分介于20分到40分之间的概率.

解：(I)解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，

则

解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以.

(II)由题意有可能的取值为：2，3，4，5.

所以随机变量的概率分布为

	2	3	4	5

因此的数学期望为

(Ⅲ)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则

37．(全国II)某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。

(I)求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。

(II)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。

解：设表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；

表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；

(1)依题意所求的概率为

(2)解法一：所求的概率为

解法二：所求的概率为

36．(全国II)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．

(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；

(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．

解(1.)　

所以的分布列为

	0	1	2	3
P

的数学期望E()=

(2)P()=

本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大

35．(全国卷I)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。

解: (1)设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依题意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率为: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－)³=

34．(全国卷I)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

解: (1)设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依题意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率为: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()³= , P(ξ=1)=C₃¹××()²=,

P(ξ=2)=C₃²×()²× = 　 , P(ξ=3)=( )³=

ξ的分布列为: