3．(广东卷)对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则

A.　　 　　B. 　　　　C. 　　　　D.

解析：由得,

所以,故选B.

2． (福建卷)对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.

其中真命题的个数为

A.0　　　　　　　 B.1　　　　　　　 C.2　　　　　　 D.3

解析：对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：　　　 　 ①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x₀，y₀)，x₀在x₁、x₂之间，y₀在y₁、y₂之间，则=

③在中，

>

= ∴命题① ③成立，而命题②在中，若则明显不成立，选B.

1．(北京卷)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则

(A)　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

解：依题意，有x₁＝50+x₃－55＝x₃－5，\x₁<x₃，同理，x₂＝30+x₁－20＝x₁+10\x₁<x₂，同理，x₃＝30+x₂－35＝x₂－5\x₃<x₂故选C

(17)(本题满分12分)

　 已知数列的前n项和为

　　　 (Ⅰ)求；

(Ⅱ)求证数列是等比数列.

(18)(本题满分12分)

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若，求bc的最大值.

(19)(本题满分12分)

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

　 　AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

(Ⅰ)求证AM∥平面BDE；

(Ⅱ)求证AM⊥平面BDF；

(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小；

(20)(本题满分12分)

某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的).假定工厂之间的选择互不影响.

(Ⅰ)求5个工厂均选择星期日停电的概率；

(Ⅱ)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.

(21)(本题满分12分)

已知a为实数，

(Ⅰ)求导数；

(Ⅱ)若，求在[--2，2] 上的最大值和最小值；

(Ⅲ)若在(-∞，-2]和[2，+∞)上都是递增的，求a的取值范围.

(22)(本题满分14分)

解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A(1，0).点P、Q在双曲线的右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1.

(Ⅰ)若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；

(Ⅱ)当时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.

(13)已知则不等式≤5的解集是　　　　 .

(14)已知平面上三点A、B、C满足 则AB· BC+BC·CA+CA·AB的值等于　　　　 .

(15)已知平面⊥， =，P是空间一点，且P到、的距离分别是1、2，则点P到的距离为　　　　　　　　　 .

(16)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有　　　　 种(用数字作答).

(17)本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.

本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，

　　　 满分12分.

(Ⅰ)证明：

所以

(Ⅱ)解：，

　　 即　 ，将代入上式并整理得

解得，舍去负值得，

　 设AB边上的高为CD.

则AB=AD+DB=

由AB=3，得CD=2+.　 所以AB边上的高等于2+.

(18)本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.

(Ⅰ)解法一：三支弱队在同一组的概率为

故有一组恰有两支弱队的概率为

解法二：有一组恰有两支弱队的概率

(Ⅱ)解法一：A组中至少有两支弱队的概率

　　　 解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为

(19)本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力，满分12分。

证明：(Ⅰ)∵

∴ 　　整理得　

所以　 　　　故是以2为公比 的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知　 于是　

又　 　　故　

因此对于任意正整数　 　都有

　 (20)本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分12分.

解法一：(Ⅰ)如图，连结CA₁、AC₁、CM，则CA₁=

∵CB=CA₁=，∴△CBA₁为等腰三角形，

又知D为其底边A₁B的中点，

∴CD⊥A₁B.　 ∵A₁C₁=1，C₁B₁=，∴A₁B₁=

　　 又BB₁=1，A₁B=2. ∵△A₁CB为直角三角形，D为A₁B的中点，

　　 ∴CD=A₁B=1，CD=CC₁，又DM=AC₁=，DM=C₁M.

　　 ∴△CDM≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°，即CD⊥DM.

　　 因为A₁B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

(Ⅱ)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B₁G、FG、B₁F，则FG//CD，FG=CD.

　　 ∴FG=，FG⊥BD.

　　 由侧面矩形BB₁A₁A的对角线的交点为D知BD=B₁D=A₁B=1，

　　 所以△BB₁D是边长为1的正三角形.

　 于是B₁G⊥BD，B₁G=　 ∴∠B₁GF是所求二面角的平面角，

　　 又 B₁F²=B₁B²+BF²=1+(=，

∴　

　 即所求二面角的大小为

解法二：如图，以C为原点建立坐标系.

(Ⅰ)B(，0，0)，B₁(，1，0)，A₁(0，1，1)，

D(，M(，1，0)，

则　 ∴CD⊥A₁B，CD⊥DM.

因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.

(Ⅱ)设BD中点为G，连结B₁G，则

G()，、、)，

所以所求的二面角等于

(21)本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分12分。

解：(Ⅰ)C的焦点为F(1，0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为

将代入方程，并整理得　

设则有　

所以夹角的大小为

(Ⅱ)由题设 得　

由②得，　 ∵ 　　∴③

联立①、③解得，依题意有

∴又F(1，0)，得直线l方程为

当时，l在方程y轴上的截距为

由　 　可知在[4，9]上是递减的，

∴

直线l在y轴上截距的变化范围为

(22)本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力，满分14分.

　　 (Ⅰ)解：函数的定义域为.

　　 　　令

　　 当　　 当　 又

　　 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0.

　 (Ⅱ)证法一：

由(Ⅰ)结论知

由题设　

因此　

所以　

又

综上　

证法二：

设　

则　

当　 在此内为减函数.

当上为增函数.

从而，当有极小值

因此　 　即　

设 　

则

当　 因此上为减函数.

因为

即　

(13)0.1，0.6，0.3　　 (14)5　　 (15)　　 (16)②④

(1)C　 　　(2)A 　　(3)C　 　　(4)C　 　　(5)A　 　　(6)D　

(7)B 　　(8)B 　　(9)D　 　　(10)B　 　　(11)B　 　　(12)C

(17)(本小题满分12分)

已知锐角三角形ABC中，

　 (Ⅰ)求证：；

　 (Ⅱ)设AB=3，求AB边上的高.

(18)(本小题满分12分)

　　　 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.

求：(Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；

(Ⅱ)A组中至少有两支弱队的概率.

(19)(本小题满分12分)

数列的前n项和记为S_n，已知证明：

(Ⅰ)数列是等比数列；

(Ⅱ)

(20)(本小题满分12分)

　 　　　 如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M.

(Ⅰ)求证CD⊥平面BDM；

(Ⅱ)求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小.

(21)(本小题满分12分)

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。

(Ⅰ)设l的斜率为1，求与的夹角的大小；

(Ⅱ)设，若λ∈[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.

(22)(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.

(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；

(Ⅱ)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

高考数学高等学校招生全国统一考试24