1、设集合，，则

A、　 　　B、　 　C、　 　D、

(17)(本小题满分12分)

已知，求及．

[思路点拨]本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系(均含)进行转换得到.

[正确解答]解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①和②式得，

因此，，由两角和的正切公式

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，

解得　，即

由可得

由于，且，故a在第二象限于是，

从而

以下同解法一

[解后反思]在求三角函数值时，必须对各个公式间的变换应公式的条件要理解和掌握，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形.

(18)(本小题满分12分)

若公比为的等比数列的首项且满足．

(I)求的值；

　　 (II)求数列的前项和．

[思路点拨]本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法.可根据其定义进行求解，要注意①等比数列的公比C是不为零的常数②前n项和的公式是关于n的分段函数，对公比C是否为1加以讨论.

[正确解答](Ⅰ)解：由题设，当时，，

，

由题设条件可得，因此，即

解得c＝1或

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，需要分两种情况讨论，

当c＝1时，数列是一个常数列，即 (nÎN^*)

这时，数列的前n项和

当时，数列是一个公比为的等比数列，即 (nÎN^*)

这时，数列的前n项和

　　　　　　　　　　　 ①

①　　 式两边同乘，得

　　　　　 ②

①式减去②式，得

所以(nÎN^*)

[解后反思]本题是数列求和及极限的综合题.

(1)完整理解等比数列的前n项和公式：

(2)要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用②利用()③要掌握分类讨论的背景转化方法.如时转化为.

(19)(本小题满分12分)

　　 如图，在斜三棱柱中，，

侧面与底面所成的二面角为，分别是棱的中点　

　(I)求与底面所成的角；　　　　　　　　　　　　　　　　

　(II)证明；　　　　　　　　　　　　　

　(III)求经过四点的球的体积．

　见理第19题

(20)(本小题满分12分)

　　 某人在山坡点处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高米，塔所在的山高米，米，图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平面的夹角为．试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大(不计此人身高)？

　见理第20题

(21)(本小题满分14分)

　　 已知，设

：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；

　　　 ：函数在上有极值．

　求使正确且正确的的取值范围．

[思路点拨]本题是组合题，考查一元二次方程的根的概念和导数的应用.

[正确解答] (Ⅰ)由题设和是方程的两个实根，得

+＝且＝－2，

所以，

当Î[-1,1]时，的最大值为9，即£3

由题意，不等式对任意实数Î[1,1]恒成立的m的解集等于不等式的解集由此不等式得

　 　　①

或　　　　　 　②

不等式①的解为

不等式②的解为或

因为，对或或时，P是正确的

(Ⅱ)对函数求导

令，即此一元二次不等式的判别式

若D＝0，则有两个相等的实根，且的符号如下：

	(－¥,)		(,+¥)
	+	0	+

因为，不是函数的极值

若D>0，则有两个不相等的实根和 (<)，且的符号如下：

x	(－¥,)		(，)		(,+¥)
	+	0	－	0	+

因此，函数f()在＝处取得极大值，在＝处取得极小值

综上所述，当且仅当D>0时，函数f()在(－¥,+¥)上有极值

由得或，

因为，当或时，Q是正确得

综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-¥,1)È

[解后反思]对恒成立问题的等价转换，相应知识的完整理解是关键.对P来说，转化为求使的最大值时的范围，而要注意一次二次方程根存在的充要条件.对Q来说，

的导函数存在的充要条件的理解是一难点，也是易错点.

(22)(本小题满分14分)

　　 抛物线的方程为，过抛物线上的一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同)，且满足．

(I)求抛物线的焦点坐标和准线方程；

(II)设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；

(III)当时，若点的坐标为(1，－1)，求为钝角时点的纵坐标的取值范围．

见理第22题.

(11)二项式的展开式中常数项为　　　　　　　　　　　　　　 ．

[思路点拨]本题考查二项式定理的通项公式，只要概念清楚和运算无误即可.

[正确解答]展开式的一般项为，令，，因此常数项为.

[解后反思]要注意符号因子不能丢.

(12)已知，和的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为　　　　　　　　　　　　　 ．

[思路点拨]本题以向量为背景，考查余弦定理，要判断较短的一条应是所对的对角线.

[正确解答]

[解后反思]要正确向量的加减法则的几何意义，对向量=(x,y)的模有几种方法.①②.

(13)如图，，

，

则异面直线与 所成的角的正切值等于　　　　　　　　　　 ．

见理第12题

(14)在数列中，，且

　　　 ，则　　　　　　　　 　　　　　　　　　．

　见理第13题　

(15)设函数，则函数的定义域为　　　　　　　　 ．

[思路点拨]本题考查复合函数定义域的求法，必须使常见各类函数都有意义，构成不等式组来解.

[正确解答]由题意得

则所求定义域为.

[解后反思]正确地解不等式组，将繁分式化简是一关键.

(16)在三角形的每条边上各取三个分点(如图)．以

这9个分点为顶点可画出若干个三角形，若从中

任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原

三角形的三个不同边上的概率为　　　　　　 .

[思路点拨]本题考查等可能事件的概率，关键是要确定基本事件.

[正确解答]可画出的三角形个数为，三个顶点分别落在不同边上的个数为，所求概率为.

[解后反思]理解和掌握等可能事件的概率的计算公式P(A)＝，本题中构成三角形的个数是一难点.

20．已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

解：解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x_qλ,y_q关于原点的对称点(x,y),

则即∵点Qx_q,y_q)在函数f(x)的图象上,

∴-y=-x²+2x.,故g(x)=-x²+2x

(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x²-|x-1|≤0,当x≥1时,2x²-x+1≤0,此时不等式无解,

当x<1时,2x²+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此,原不等式的解集为[-1,]

(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x²+2(1-λ)x+1

①　　 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1

②　　 当λ≠-1时,对称轴的方程为x=.

(i)　　　　　　　　 当λ<-1时, ≤-1,解得λ<-1.

(ii)　　　　　　　 当λ>-1时, ≥-1,解得-1<λ≤0.

综上,λ≤0

19．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

　 (Ⅰ)求椭圆的方程；

　 (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F₁PF₂最大值．

解：(Ⅰ)设椭圆的方程为(a>0,b>0),半焦距为c,则|MA₁|=,|A₁F₁|=a-c 由题意,得∴a=2,b=,c=1.

故椭圆的方程为

(Ⅱ)设P(-4,y₀),y₀≠0,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

设直线PF₁的斜率k₁=,直线PF₂的斜率k₂=,

∵0<∠F₁PF₂<∠PF₁M<,∴∠F₁PF₂为锐角.

∴tan∠F₁PF₂=

当且仅当,即|y₀|=时,tan∠F₁PF₂取到最大值此时∠F₁PF₂最大,∴

∠F₁PF₂的最大值为arctan.

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

　 (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

　 (Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小．

解：解法一

(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA与平面PBC所成角为arcsin

解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).

B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,

∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

∴cos.

设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos()|=.

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.

17．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．

　 (Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．

　 (Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．　

解：(Ⅰ)(i)

(ii)

(iii)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,

由,得p=.

16．已知实数成等差数列，成等比数列，且，求．

解：

由(1)(2)两式,解得b=5,将c=10-a代入(3),整理得a²-13a+22=0,解得a=2或a=11.

故a=2,b=5,c=11或a=11,b=5,c=-1.经验算,上述两组数符合题意.

15．已知函数．

　 (Ⅰ) 求的值；

　 (Ⅱ) 设，求的值．

解：(Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴

(Ⅱ)

,

,∵α∈(0,π),∴sinα>0,故sinα=

12．从集合与中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)

解：分三种情况：情况1.不含Q、0的排列：；情况2.0、Q中只含一个元素Q的排列：；情况3.只含元素0的排列：.综上符合题意的排法种数为

++=5832