(1) 设函数则满足的x值为　　　　　 　　.

(2) 设数列{a _n}的通项为a_n=2n-7 (n∈N)，则|a₁|+|a₂|+……+|a₁₅|= 　　　　　　.

(3)设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

(4)设集合，则A∩B的元素个数为　　　　　　　 个.

(5)抛物线x²－4y－3=0的焦点坐标为　　　 　　　　　　　.

(6)设数列{a _n}是公比q>0的等比数列，S_n是它的前n项和，若，则此数列的首项a₁的取值范围是　　　　　　　　 .

(7)某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种　　　　　　　 种。(结果用数值表示)

(8)在代表式的展开式中，常数项为　　　　　　　　　　 .

(9)设x=sin α，且，则arccosx的取值范围是　　　　　　 。

(10) 直线与曲线(φ为参数)的交点坐标是　　　　　　 。

(11)已知两个圆：①与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。推广的命题为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

(12) 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：

　(15)(本小题共12分) 已知函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的定义域； (Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan=，求f()的值.

(16)(本小题共13分)

　　　 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

(Ⅰ)的值；

(Ⅱ)的值.

(17)(本小题共14分)

　　 如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱.

(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC₁A₁;

(Ⅱ)]若二面角C₁-BD-C的大小为60^o,求异面直线BC₁与AC所成角的大小.

(18)(本小题共13分)

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.

方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：

(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；

(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率.

(19)(本小题共14分)

椭圆C:的两个焦点为F₁,F₂,点P在椭圆C上，且

　　 (Ⅰ)求椭圆C的方程；

　　 (Ⅱ)若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.

(20)(本小题共14分)

设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为．

(Ⅰ)若，，求数列的通项公式；

(Ⅱ)若，，，求所有可能的数列的通项公式．

(9)若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于　　　 　　　　　。

(10)在的展开式中，x³的系数是　　　　　　　　　 .(用数字作答)

(11)已知函数的反函数的图象经过点(-1，2)，那么a的值等于

　　　 　　　　　　　　　.

(12)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是　　　　　　　　　　　 .

(13)在△ABC中，A，B，C所对的边长分别为a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,则a∶b∶c=　　　　　　 , B的大小是　　　　　　　 .

(14) 已知点P(x,y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于____________,最大值等于______________.

(1)设集合A=，B=，则AB等于

(A) 　 　　　　 (B)

(C) 　　　　　　　 (D)

(2)函数y=1+cosx的图象

　 (A)关于x轴对称　　　　　　 (B)关于y轴对称

　 (C)关于原点对称　　　　　　 (D)关于直线x=对称

(3)若a与b-c都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a(b-c)”的

　 (A)充分而不必要条件　　　　 (B)必要而不充分条件

　 (C)充分必要条件　　　　　　 (D) 既不充分也不必要条件

(4)在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有

(A)36个　　　　　　　　　 (B)24个

(C)18个　　　　　　　　　 (D)6个

(5)已知是(-，+)上的增函数，那么a的取值范围是

(A)(1，+)　　　　　　　 (B)(-,3)

(C)　　　　　　　　　 (D)(1,3)

(6)如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么

(A)b=3,ac=9　　　　　　　 (B)b=-3,ac=9

(C)b=3,ac=-9　　　　　　　　 (D)b=-3,ac=-9

(7)设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是

(A)若AC与BD共面，则AD与BC共面

(B)若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

　(C) 若AB=AC，DB=DC，则AD=BC

　(D) 若AB=AC，DB=DC，则AD BC

　(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x_{1`</sub>x<sub>2`}x₃，分别表示该时段单位时间通过路段,,的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则

　 (A)x₁＞x₂＞x₃

　 (B)x₁＞x₃＞x₂

　 (C)x₂＞x₃＞x₁

　 (D)x₃＞x₂＞x₁

绝密★启用前

普通高等学校招生全国统一考试

数　 学(文史类)(北京卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅱ卷(共110分)

 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

21．(本小题满分14分)

设是函数的一个极值点。

(Ⅰ)、求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；

(Ⅱ)、设，。若存在使得成立，求的取值范围。

　点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。

解：(Ⅰ)f `(x)＝－[x²+(a－2)x+b－a ]e^3－x,

由f `(3)=0，得 －[3²+(a－2)3+b－a ]e^3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f `(x)＝[x²+(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x

＝－[x²+(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x+a+1)e^3－x.

令f `(x)＝0，得x₁＝3或x₂＝－a－1，由于x＝3是极值点，

所以x+a+1≠0，那么a≠－4.

当a<－4时，x₂>3＝x₁，则

在区间(－∞，3)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(3，―a―1)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(―a―1，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

当a>－4时，x₂<3＝x₁，则

在区间(－∞，―a―1)上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

在区间(―a―1，3)上，f `(x)>0，f (x)为增函数；

在区间(3，+∞)上，f `(x)<0，f (x)为减函数。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a>0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，

而f (0)＝－(2a+3)e³<0，f (4)＝(2a+13)e^－1>0，f (3)＝a+6，

那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－(2a+3)e³，a+6].

又在区间[0，4]上是增函数，

且它在区间[0，4]上的值域是[a²+，(a²+)e⁴]，

由于(a²+)－(a+6)＝a²－a+＝()²≥0，所以只须仅须

(a²+)－(a+6)<1且a>0，解得0<a<.

故a的取值范围是(0，)。

20．(本小题满分14分)

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

(Ⅰ)、求椭圆的方程；

(Ⅱ)、设为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

(此题不要求在答题卡上画图)

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：(Ⅰ)依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.

故椭圆的方程为 .

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).设M(x₀，y₀).

∵M点在椭圆上，∴y₀＝(4－x₀²).　　　　　　　　　　　 1

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得

P(4，).

从而＝(x₀－2，y₀)，

＝(2，).

∴·＝2x₀－4+＝(x₀²－4+3y₀²).　　　 2

将1代入2，化简得·＝(2－x₀).

∵2－x₀>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为(，)，

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2)²+()²－[(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²]

　　　　　　　　 ＝(x₁－2) (x₂－2)+y₁y₁　　　　　　　　 　　3

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又点M在椭圆上，则，即　　　　 5

于是将4、5代入3，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。

19．(本小题满分10分)

在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名。

(Ⅰ)、试问此次参赛学生总数约为多少人？

(Ⅱ)、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可共查阅的(部分)标准正态分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。

解：(Ⅰ)设参赛学生的分数为，因为-N(70，100)，由条件知，

P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，

参赛总人数约为≈526(人)。

(Ⅱ)假定设奖的分数线为x分，则

P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(x)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故设奖得分数线约为83.1分。

18．(本小题满分12分)

如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。

(Ⅰ)、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

(Ⅱ)、在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D₁Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。

点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：(Ⅰ)连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.

(Ⅱ)可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点O₁，因为

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直。

17．(本小题满分13分)

已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

(Ⅰ)、求数列的通项公式；

(Ⅱ)、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：(Ⅰ)设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,　 b=－2, 所以　 f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(3n²－2n)－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 ()

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知＝＝，

故T_n＝＝＝(1－).

因此，要使(1－)<()成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

16．(本小题满分12分)

设函数，其中向量，，，。

(Ⅰ)、求函数的最大值和最小正周期；

(Ⅱ)、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。

　 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

　 解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)

　　　　　　　 ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.

(Ⅱ)由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝(，－2)，k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝(―，―2)即为所求.