(13)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的

　　　 　 (A)充分非必要条件　　　　　　　　　　　　 (B)必要非充分条件

　　　 　 (C)充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)既非充分也非必要条件

(14)如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点.若则下列向量中与相等的向量是

(A)　　　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

(15)已知a、b为两条不同的直线，α、β为两上不同的平面，且a⊥α、b⊥β，则下列命题中的假命题是

　 (A)若a∥b，则a∥β.　　　　　　　　　　　　　 (B)若α⊥β，则a⊥b.

　 (C)若a、b相交，则α、β相交.　　　　　 (D)若α、β相交，则a、b相交.　

(16)用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是

　　 (A)在(1，+∞)上是单调减函数

　　 (B)，x∈(1，+∞)有最小值

　　 (C)，x∈(1，+∞)的值域为

　　 (D)

(1) 设函数，则满足的x值为　　　　　　　 .

(2)设数列{a _n}的首项a₁=－7，则满足则a₁+a₂+…+a₁₇= 　　　　　　.

(3)设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

(4)设集合，则A∩B的元素个数为　　　　　　　 个.

(5)抛物线x²－4y－3=0的焦点坐标为　　　　　　　 　　　.

(6)设数列{a _n}是公比q>0的等比数列，S_n是它的前n项和，若，则此数列的首项a₁的取值范围是　　　　　　　　 .

(7)某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种　　　　　　　 种.(结果用数值表示)

(8)在的二项展开式中，常数项为　　　　　　　　　　 .

(9)设x=sin α，且，则arccosx的取值范围是　　　　　　 .

(10)利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是　　　　.

自然状况	方案 盈利(万元) 概率	A1	A2	A3	A4
S1	0.25	50	70	-20	98
S2	0.30	65	26	52	82
S3	0.45	26	16	78	-10

(11)已知两个圆：①与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。推广的命题为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　.

(12)据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：

(17)本小题主要考查分式不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，满分12分。

解：原不等式的解集是下面不等式组(Ⅰ)、(Ⅱ)的解集的并集：

(Ⅰ)　　　　　　　 (Ⅱ)　　　　　　　　　 ……2分

分情况讨论

(ⅰ)当a <0或a >1时，有a < a²，

此时，不等式组(Ⅰ)的解集为∣x∣a < x < a²∣,

不等式组(Ⅱ)的解集为空集Ф ……6分

(ⅱ)当0 < a < 1时，有a² < a，

此时，不等试组(Ⅰ)的解集为空集Ф

不等式组(Ⅱ)的解集为∣x∣a² < x < a∣； ……10分

(ⅲ)当a = 0或a = 1时，原不等式无解，

综上，当a < 0或a > 1时，原不等式无解集为∣x∣a < x < a²∣；

当0 < a < 1时，原不等式的解集为∣x∣a² < x < a∣；

当a=0或a=1时，原不等式的解集为Ф ……12分

(18)本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考 查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C,由已知条件

P(A)=0.80，P(B)=0.90，P(C)=0.90.

(Ⅰ)因为事件A、B、C是相互独立的,所以,系统N₁正常工作的概率

P₁=P(A·B·C)

=P(A)·P(B)·P(C)

=0.80×0.90×0.90=0.648.

故系统N₁正常工作的概率为0.648. ……5分

(Ⅱ)系统N₂正常工作的概率

∵　

　　　　　 　　　　　　　　……10分

∴　 P₂=0.80×[1-0.10×0.10]=0.80×0.99=0.792.

故系统N₂正常工作的概率为0.792. ……12分

(19)本小题主要考查函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的基本性质和运算，以及综合分析问题的能力，满分12分。

(Ⅰ)解：依题意，对一切x∈R有f (x)=f (-x)，即

所以对一切x∈R成立

由此得到，即a²=1　　　　　　　　　　 ……4分

又因为a > 0，所以a = 1.

(Ⅱ)证明一：设0 < x₁ < x₂，

　　　　　　 　　　　　　……8分

由x₁>0，x₂>0，x₂-x₁>0,，得x₁+x>0，

e^x2-x1－1>0，1－e^x2+x1<0．

∴ f (x₁)－f (x₂) < 0,

即f (x)在(0，+∞)上是增函数， ……12分

证明二：由f (x)=e^x+e^-x,得

f′(x)=e^x－e^-x=e^-x(e^2x－1). ……8分

当x∈(0,+∝)时，有e^-x(e^2x－1).

此时f′(x)>0,

所以f (x)在(0，+∞)上是增函数。 ……12分

注意：考生在(20甲)、(20乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(20甲)计分.

(20甲)本小题考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.满分12分.

解：(Ⅰ)由题意知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，

由此得　

∴　　

　　　 　　　　　……3分

由向量的数量积公式有

　 (Ⅱ)若∠BED是二面角a―VC―b的平面角，则,即有

　 又C(－a，a，0)，V(0，0，h)，那么，且

∴　　

即，这时有　　　　　　　　　　　　　 ……9分

　　　 即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

(20乙)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,考查空间想象能　　　　　　　　　　　 力和逻辑推理能力.满分12分.

解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是

　　　　　 ……2分

∴四棱锥S-ABCD的体积是

　 　　　　　　　　……4分

(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱……6分

∵AD//BC，BC=2AD，

∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线,

又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角……10分

　 ∵

∴

即所求二面角的正切值为　　　　　　　　　　　　 ……12分

(21)本小题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解言程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力。满分12分。

解：(Ⅰ)如图建立直解坐标系系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴。

设双曲线方程为，则　　　　 ……2分

又设B(11，y₁),C(9,y₂),因为点B、C在双曲线上，所以有

　　　　 ①

　　　　　 ②

由题意知

y₂-y₁=20　　　　　　　 ③ ……6分

由①、②、③得

y₁=－12,

y₂=8,

故双曲线方程为

　　　　 ……6分

(Ⅱ)由双曲线方程得

设冷却塔的容积为V(m³),则

经计算得V≈4.25·10³(m³).　 ……12分

答：冷却塔的容积为4.25·10³m³.

(22)本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识,以及逻辑推理能力和运算能力.满分14分.

解：(Ⅰ)两曲线的交点坐标(x，y)满足方程组

即　　 　　　　　　　　　　……4分

有4个不同交点等价于x²>0且y²>0,即

又因为，所以得q 的取值范围为．　 ……8分

(Ⅱ)由(Ⅰ)的推理知4个交点的坐标(x，y)满足方程x²+y²=2cosq ，即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为．

因为cosq 在上是减函数，所以由cosq＝1，知r的取值范围是

(13)　　　　　　 (14)1.2　　　　　　 (15)②　　　　　　　 (16)1

(1)A　　 　(2)B 　　(3)C 　　(4)A 　　　(5)B 　　(6)A

(7)A 　　　(8)D 　　(9)A 　　(10)B 　　(11)D 　　(12)D

(17)(本小题满分12分)

(18)(本小题满分12分)

如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N₁、N₂.当元件A、B、C都正常工作时,系统N₁正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N₂正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂.

(19)(本小题满分12分)

(Ⅰ)求a的值:

(Ⅱ)证明f(X)在(0,+∞)上是增函数

注意：考生在(20甲)、(20乙)两题中选一题作答,如果两题都答,只以(20甲)计分.

(20甲)(本小题满分12分)

如图,以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E为VC中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.

(Ⅱ)记面BCV为а,面DCV为β,若∠BED是二面角а-VC-β的平面角,求cos∠BED的值

(20乙)(本小题满分12分)

如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90⁰,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD＝．

(Ⅰ)求四棱锥S-ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

(21)某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A是又曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AAˊ=14m,CCˊ=18=22m，塔高20m。

(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程：

(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m³，塔壁厚度不计，π取3.14).

(22)(本小题满分14分)

(Ⅰ)求θ的取值范围；

(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.

普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

说明：

(13)

(14)一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_______________. (用数字作答)

(15)在空间中,

①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.

②若两条直线没有公共点,则这两条线是异面直线.

以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上).

(16)设{a_n}是公比为q的等比数列,S_n是它的前n项和.若{S_n}是等差数列,则q=_______.

(1)函数的周期，振幅依次是

(A)4π、3　 (B)4π、-3　　　　 (C)π、3　　　　　　 (D)π、-3

(2)若S_n是数列{a_n}的前n项和,且S_n=n²,则{a_n}是

(A)等比数列,但不是等差数列 　　(B)等差数列,但不是等比数列

(C)等差数列,而且也是等比数列 　(D)既非等比数列又非等差数列

(3)过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是

(A)(x-3)²+(y+1)²=4 　　　　　　　(B)(x+3)²+(y-1)²=4

(C)(x-1)²+(y-1)²=4 　　　　　　　(D)(x+1)²+(y+1)²=4

(4)若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log_2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　 (D)

(5)若定义在区间(-1，0)内的函数f(x)=log_2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是

(A) 　　　(B) 　　(C) 　　(D)

(6)设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2且|PA|=|PB|.若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是

(A)x+y-5=0 　　　(B)2x-y-1=0 　　(C)2y-x-4=0 　　(D)2x+y-7=0

(7)若，则

(A)a<b 　　　　　(B)a>b 　　　　(C)ab<1　　　 　(D)ab>2

(8)函数y=1+3x-x²有

(A)极小值-1，极大值1 　　　　　　(B)极小值-2，极小值3

(C)极小值-2，极大值2 　　　　　　(D)极小值-1，极大值3

(9)某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场,得3分；平一场,得1分；负一场,得0 分. 一球队打完15场,积33分.若不考虑顺序,该队胜、负、平的可能情况共有

(A)3种 　　　(B)4种 　　　　(C)5种 　　　　　(D)6种

(10)设坐标原点为O，抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则

　　　 (A)　　　　　　　　 (B)　　　　　 (C)3　　　　　　　 (D)－3

(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P₁、P₂、P₃. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是а, 则

(A)P₃>P₂>P₁ 　　(B)P₃>P₂=P₁ 　　(C)P₃=P₂>P₁ 　　　(D)P₃=P₂=P₁

(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为

(A)26 　　　(B)24 　　　(C)20 　　　(D)19

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

(17)(本小题满分12分)

已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S_n，S_k＝2550．

(Ⅰ)求a及k的值；

(Ⅱ)求

(18)(本小题满分12分)

设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm²，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上、下各有8 cm空白，左、右各有5 cm空白。怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？

(19)(本小题满分12分)

如图，用A、B、C三类不同的元件连接或两个系统N₁、N₂，　当元件A、B、C都正常工作时，系统N₁、N₂正常工作； 　当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90。分别求系统N₁、N₂正常工作的概率P₁、P₂

注意：考生在(20甲)、(20乙)两题中选一题作答，如果两题都答，只以(20甲)计分。

(20甲)(本小题满分12分)

如图，以正四棱锥V－ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB．E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．

Ⅰ．求；

Ⅱ．记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α―VC―β的平面角，求cos∠BED的值。

(20乙)(本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC，．

(Ⅰ)求四棱锥S－ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

(21)(本小题满分12分) 　已知函数f(x)=x² –3ax²+2bx在点x=1处有极小值－1。试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。

(22)(本小题满分14分) 设0<θ<，曲线x²sinθ+y²cosθ＝1和x²cosθ－y²sinθ＝1有4个不同的交点．

　　　 (Ⅰ)求θ的取值的范围；

　　　 (Ⅱ)证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。

普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

(13)定义在R上的函数f (x)＝sinx+cosx是最大值是　　。

(14)一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查。若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为　　　　。

(15)在空间中，

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

以上两个命题中，逆命题为真命题的是　　　。(把符合要求的命题序号都填上)

(16)若{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和。若{S_n}是等差数列，则q＝　　　。