(1)A　　　 (2)C　　　 (3)D　　　 (4)C　　　 (5)A　　　 (6)B

(7)D　　　　　 (8)B　　　　　 (9)C　　　　　 (10)B　　　　 (11)C 　　　 (12)C

(17)方程有实根，且2、、为等差数列的前三项．求该等差数列公差的取值范围．

(18)设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性．

(19)已知．

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)设的辐角为，求的值．

(20)已知VC是所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于的高CD上．之间的距离为．

(Ⅰ)证明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；

(Ⅱ)当∠MDC=∠CVN时，证明VC；

　 (Ⅲ)若∠MDC=∠CVN=，求四面体MABC的体积．

(21)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0.6．已知年利润=(出厂价–投入成本)年销售量．

(Ⅰ)写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；

(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？

(22)已知抛物线．过动点M(，0)且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．

(Ⅰ)若的取值范围；

(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交轴于点N，试求的面积．

普通高等学校春季招生考试

数学试题参考解答及评分标准

说明：

(13)已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_______________．

(14)椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．

(15)已知、、均为锐角)，那么的最大值等于____________________．

(16)已知、是直线，、、是平面，给出下列命题：

①　　 若，则；

②若∥，，则∥；

③若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线；

④若，∥，且，则∥∥．

其中正确的命题的序号是_______________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)

(1)集体的子集个数是

(A)32　　　　　　　　　　　　　　 (B)31　　　　　　　 (C)16　　　　　　　 (D)15

(2)函数对于任意的实数都有

　　　 (A)　　　　　　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

(3)

　　　 (A)0　　　　　　　　 (B)2　　　　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

(4)函数的反函数是

　　　 (A)　　　　　　　　　 (B)

　　　 (C)　　　　　　　　　　　　　 (D)

(5)已知、是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点A、B，若，则

　　　 (A)11　　　　　　　 (B)10　　　　　　　 (C)9　　　　　　　　 (D)16

(6)设动点P在直线上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰，则动点Q的轨迹是

　　　 (A)圆　　　　　　　 (B)两条平行直线　　　　　　 (C)抛物线　　　　 (D)双曲线

(7)已知，那么等于

　　　 (A)　　　　　　　 (B)8　　　　　　　　 (C)18　　　　　　　 (D)

(8)若A、B是锐角的两个内角，则点在

　　　 (A)第一象限　　　　　　 (B)第二象限　　　　　　 (C)第三象限　　　　　　 (D)第四象限

(9)如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是

　　　 (A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

(10)若为实数，且，则的最小值是

　 　　　 (A)18　　　　　　　 (B)6　　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

(11)右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，

　　　 ①平行

　　　 ②CN与BE是异面直线

　　　 ③CN与BM成角

　　　 ④DM与BN垂直

　　　 以上四个命题中，正确命题的序号是

　　　 (A)①②③　　　　　　　 (B)②④

　　　 (C)③④　　　　　　　　　 (D)②③④

(12)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量(万件)近似地满足按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是

　　　 (A)5月、6月　　　　　 (B)6月、7月　　　　　 (C)7月、8月　　　　　 (D)8月、9月

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

(17)[解]∵ 　∴　　　　……(4分)

　　于是∠C＝60°，或∠C＝120°.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……(6分)

　　又

　　　　　　　 当　∠C＝60°时，　　　　　　　　 ……(9分)

　　　　　　　 当　∠C＝120°时，　　　……(12分)

(18)　[解法一]由已知　　　　……(4分)

根据直角的不同位置，分两种情况：

若∠PF₂F₁为直角，则

即　

得　故　　　……(9分)

若∠F₁PF₂为直角，则

即　

得　故　　　……(12分)

[解法二]　由椭圆的对称性不妨设P(x，y)　(x>0，y>0)，

则由已知可得　　　　　　　　　　　　 　　　　 ……(4分)

根据直角的不同位置，分两种情况：

若∠PF₂F₁为直角，则

于是故　　　　　……(9分)

若∠F₁PF₂为直角，则，

解得即

于是故　　　　……(12分)

(说明：两种情况，缺少一种扣3分)

(19)(1)[证明]如图，以O为原点建立空间直角坐标系。

　　　　　　　 设AE＝BF＝x，则

　　　 A’(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C’(0，a，a)、E(a，x，0)

　 　　　　　　　　　　　　　　　 ……(4分)

　∵　

　∴　A’F⊥C’E.

　　　 (2)[解]记BF=x，BE＝y，则　x+y=a，

三棱锥B’－BEF的体积

当且仅当时，等号成立。

因此，三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，　……(10分)

过B作BD⊥EF交EF于D，连B’D，可知B’D⊥EF.

∴ ∠B’DB是二面角B’－EF－B的平面角。

在直角三角形BEF中，直角边是斜边上的高，

∴　

故二面角B’－EF－B的大小为　　　　　　　　　　　　　 ……(14分)

(20)[解]　(1)∵　z是方程的根，

　　∴　z₁=i 　或　z₂=－i.　　　　　　　　 ……(2分)

　　不论 z₁=i 　或　z₂=－i，　　

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(8分)

　　　 于是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(10分)

　　　 (2)取，则及

　　于是

　　　　 或取(说明：只需写出一个正确答案。)　

(21)[解](1)f(0)=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样。　……(2分)

(2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是：

　 在[0,+∞]上f(x)单调递减，且0<f(x)≤1.　　　　　　　　　　　　　 ……(8分)

　(3)设仅清洗一次，残留的农药量为

　 清洗两次后，残留的农药量为　　……(12分)

　则

　于是，当时，f₁>f₂;

　　　　　 当时，f₁＝f₂;

　　　当时，f₁<f₂;

当时，清洗两次后残留的农药量较少；

　　　当时，两种清洗方法具有相同的效果；

　　　当时，一次清洗残留的农药量较少.　　　 ……(16分)

(22)[解](1)∵　f(x)的定义域D＝(－∞，－1)∪(－1，+∞)，∴　数列{x_n}只有三项：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ……(3分)

(2)∵　，即　

　∴　x＝1，或x＝2.

　 　即当x₀=1或2时，

　　故当x₀=1时，x_n=1; 当x₀=2时，x_n=2　　 (n∈N).　　　　 ……(9分)

　(3)(证法一)设x_n<0　 (n∈N).

由 　得

　　　 　得

　　 得

　　 ∵　 　　∴　 同时使x₁、x₂、x₃为负数的x₀不存在。

　　 故所求的x₀不存在。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……(18分)

(13)C　　　　　　　　 (14)A　　　　　　　 (15)D　　　　　　　　 (16)D

(1)3．　　　　　　　　　　 (2)　153　　　　　　　　　 (3)x²－4y²＝1.　　　　 　　 (4)1

(5)　　　　 　　 (6)(0，7)　　　　　 (7)7　　　　　　　　　　　　　　　　 (8)15

(9)　　　　　　　 (10)A₃

(11)设圆方程：　 ①，

　　　　 　②

(a≠c或b≠d)，则由①－②，得两圆的对称轴方程。

(12)

3．第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。

解答

2．评阅试卷，就坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响决定后面的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

(17)(本题满分12分)

已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积。若a=4，b=5，，求c的长度.

[解]

(18)(本题满分12分)

设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|>|PF₂|，求的值.

(解)

(19)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

在棱长为a的正方体OABC－O’A’B’C’中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.

(1)求证：A’F⊥C’E;

(2)当三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，求二面角B’－EF－B的大小。(结果用反三角函数表示)

(1)[证明]

(2)[解]

(20)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.

对任意一人非零复数z，定义集合

(1)设z是方程的一个根.试用列举法表示集合M_z，若在M_z中任取两个数，求其和为零的概率P;

(2)若集合M_z中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由.

　[解] (1)

(2)　

(21)(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).

(1)试规定f(0)的值，并解释其实际意义；

(2)试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；

(3)设。现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由。

[解](1)

(2)

(3)

(22)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

对任意函数f(x)，x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x₀∈D，经按列发生器，其工作原理如下：

②若x₁∈D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂= f(x₁)，并依此规律继续下去，现定义.

(1)若输入，则由数列发生器产生数列{x_n}。请写出数列{x_n}的所有项：

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x₀的值；

(3)若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}满足；对任意正整数n，均有x_n > x_n+1，求x₀的取值范围。

[解](1)

(2)

(3)

数学试卷(类)答案要点及评分标准

说明：

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。