第一阶段

[例1]假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系 ，那么广告效应为 _。

　　 　 _{问如何取得最大广告效应？}

_{思路分析：题中条件 与所求解问题无关}

_解：

_∴

_{说明：解应用题应避免背景的干扰，从复杂的背景中提取必要的数学关系。}

_{[例2]有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成一项任务。(1)设由 x 部机器( x}为_{不大于m的正整数)}

　 _{完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的部数} x的函数关系式；(2)画出所求函数当m=4时的

　 图像。

　 思路分析：

　 本题实质可看作：己知机器的部数求所需时间y。需要先求出每部机器单位时间内完成的工作量。

　 解：(1)一部机器一小时完成这项任务的 ， _{x部机器一小时完成这项任务的 所以 x部机器完}

　 _{成这项任务}所_{需时间(小时)为 ，其中x为不大于m的正整数。}　

　 _{(3)当m=4时，} ，x_{为1，2，3，4，对应的y值分别为16，8， ，4。这时函数的图像}

　 _{是四个点(1，16)、(2，8)、 、(4，4)，图形同学们自己作。}

_{[例3]某人开汽车以60km/h的度从A地到150km远处的B，在B地停留1小时后，再以50km/h的速度返回A地，}

　 _{把汽车离开A地的路程 x(km) 表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数，并画出函数的图像，再把}

_{车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数和图像。}

　 _{思路分析：}

　 _{由题意， x与t的在三个不同的时间段有不同的关系，首先要算出这三个不同时间段。}

　 _{解：汽车离开A地的距离 x(km)与时间t(h)之间的关系式是：}

　 它的图像如图2-28(1)所示

　 速度v(km/h)与时间th的函数关系式是:

　 它的图像如图2-28(2)所示。

　 说明：本题为分段函数问题注意分类求解。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第二阶段

[例4]某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需

　 要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(　 )　

　 A、5种　 B、 6种　　C、 7种　 D、8种

　 思路分析：

　 题设共有五个条件，用字母分别表示有关量，将条件数式化，转化为不等式的有关问题。

　 解： 

　 讨论知，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)是该不等式符合

　 条件的所有的解，故共有7故选购方式，选C。

　 说明：本题重在培养建模能力，以及分类讨论思想。

[例5]某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回

　 本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？

　 这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？

　 思路分析：

　 这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题，可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，

　 再通过比较作答。

　 解答：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是

　 100×(1+10%×5)=150(万元)

　 本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是　

　 100×(1+9%)⁵=153.86(万元)

　 由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元。

[例6]1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那么

　 y与x的函数关系式是_______

　 思路分析：该题与年份有关，可用归纳的方法求解。

　 解：因年平均增长率为x%，1993年底人口数为54.8(1+x%)，1994年底人口数为54.8(1+x%)²，…，

　 2000年底人口数则为54.8(1+x%)⁸

　 应填：y=54.8(1+x%)⁸

　　　　　　　　　　　　　　　 第三阶段

[例7]某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，

　 设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克。根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的

　 市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：　　　　　

　 P=1000(x+t－8)(x≥8，t≥0),

　 当P=Q时的市场价格叫做市场平衡价格。

　 (1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数并求出函数的定义域；

　 (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？

　 思路分析：本题提供的基本关系比较清晰，可直接进行数式化。

　 解：

　　 _{化简得：5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0}

　　 _{当判别式△=800－16t2≥0，即 时，可得}

　　当_{△≥0，t≥0,8≤x≤14得不等式组：}

 　①

　　 或 ②　　

　 解不等式组①得 ，不等式组②无解

　 故所求的函数关系式为：

　 ，定义域为 。

　(2)为使t²+4t－5≥0，解得t≥1或t≤－5。

　 ∵t≥0，∴t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。　　

　 说明：实际问题的定义域由所有相关的约束条件求解。

[例8]某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，己知总收益

　 满足函数：

　 ，其中x是仪器的月产量。

　 (1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

　 (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)

　 思路分析：

　 由己知收益=总成本+利润，知道利润=总收益－总成本。由于R(x)是分段函数，所以f(x)也分段求出。

　 分别求出f(x)在各段中的最大值，通过比较，就能确定f(x)的最大值。

　 解答：(1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而

　 (2)当0≤x≤400时， _，

　 ∴当x=300时，有最大值25000；

　　 当x>400时，f(x)=60000－100x是减函数，

　 　 f(x)<60000－100×400<25000。

　 ∴当x=300时，f(x)的最大值为25000。

　 答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元。

[例9]有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P和Q(万元)，它们与投入资金x

　　 (万元)的关系，有经验公式： _{今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最}

　 _{大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？}

_{思路分析：}

　　 _{首先应根据题意建立利润与投入资金之间的函数关系，求得函数解析式，然后再化为求函数最大值的}

_问题。

　 _{解答：　设对甲种商品投资x万元，则乙种商品投资为(3－x)万元，总利润y万元，据题意有：}

　 _{令 ，则x=3－t2， 。}

　 _所以

　 _{当 时，ymax=1.05，此时x=0.75，3－x=2.25}。

　 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75_{万元和2.25万元，获得总利}

_{润为1.05万元。}

_{三、练习题：}

_{1、某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是 .若每台产}

_{品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　 )}

　 _{A、100台　　　B、120台　　 C、150台　　 D、180台}

_{2、用长度为24m的材料围一个矩形家禽养殖场，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度}

_{为(　 )}

　　 _{A、 3　　B、 4　　C、 6　　D、 12}

_{3、按复利计算储蓄利率，存入银行a万元，年利率了b%，x年后支取，本息和应为(　　)}

_{A、a(1+b%)x-1万元　B、a(1+b%)x万元　C、a(1+b%)x+1万元　　D、a[1+(b%)x]万元}

_{4、我国工农业总产值从1980年至2000年的20年间翻两番，设平均每年的增长率为x，则(　 )}

　　 _{A. (1+x)19=4　　B. (1}+x)²⁰=2　_{C. (1+x)20=3　　D. (1+x)20=4.}

_{5、某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价(　　 )}

　　 _{A、10%　　B、90%　　 C、11%}

6、有一批材料可以围成36m的围墙，如图，用此材料在一边靠墙的地方，围在一块矩形场地且中间用同

　 样材料隔成两块矩形，试求所围矩形面积的最大值是_______。

1、能运用所学的函数知识、方法解决一些简单的实际问题；

16．如图所示，直三棱柱中，，，．

(Ⅰ)求点到平面的距离；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正切值；

(Ⅲ)求以与为半平面的二面角的正切值．

15．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，且，，．

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；

(Ⅲ)设二面角的大小为，求tg的值．

14．已知正方形，、相交于点．若将正方形沿对角线折成的二面角，并给出下面四个结论：

①；②；③为正三角形；④．

其中，正确命题的序号是　　　　　　　　　　　　 ．

(反面有题)

13．如图所示，已知异面直线、的公垂线段的长为，，，．若、所成的角为，则点到直线的距离为　　　　　　　　　 ．

第13题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第14题图

12．如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点．若，则与所成角的余弦是　　　　　　　　　　　 ．

11．在三棱锥中，，，则二面角的余弦值为　　　　　　　　　　　 ．

10．如图，、分别为两个正方形，为的中点，沿将正方形、折成的二面角，则折后与所成角的余弦值为　　　　　　 ．

第10题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第12题图