题目列表(包括答案和解析)
35、解：(1)
(2)
或0
34.(2004.江苏)已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线
与y轴交于点M. 若
，求直线的斜率.
33、解：
，设
当
时，
取最大值7万元
33.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
32．(2004. 天津卷)(本小题满分14分)
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点
的准线
与
轴相交于点A，
，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(I) 求椭圆的方程及离心率；
(II)若
求直线PQ的方程；
(III)设
，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明
。
(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。
(I)解：由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得 
所以椭圆的方程为
，离心率
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
(II)解： 由(I)可得
设直线PQ的方程为
由方程组
得
依题意 
得
设 
则
①
②
由直线PQ的方程得 
于是
③
④
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
由①②③④得
从而
所以直线PQ的方程为
或
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
(III)证明：
由已知得方程组
注意
解得 
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
因
故
而
所以
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分
31．解：(Ⅰ)依题意，可设直线AB的方程为 
代入抛物线方程
得
①
设A、B两点的坐标分别是 
、
、x2是方程①的两根.
所以 
由点P(0，m)分有向线段
所成的比为
，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是(0，－m)，从而
.
所以 
(Ⅱ)由 
得点A、B的坐标分别是(6，9)、(－4，4).
由 
得 
所以抛物线 在点A处切线的斜率为 
设圆C的方程是
则
解之得 
所以圆C的方程是 
即 
31．(2004.湖南理)(本小题满分12分)
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
(I)设点P分有向线段
所成的比为，证明:
；
(II)设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
30．本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 满分12分.
(1)解法一：直线l过点M(0，1)设其斜率为k，则l的方程为
记
、
由题设可得点A、B的坐标、
是方程组
|
|
的解.…………………………2分
将①代入②并化简得，
，所以
于是
…………6分
设点P的坐标为
则
消去参数k得
③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，所以点P的轨迹方
程为
………………8分
解法二：设点P的坐标为
，因、
在椭圆上，所以
④
⑤
④-⑤得
，所以
当
时，有
⑥
并且
⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧
当
时，点A、B的坐标为(0，2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0，0)
也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
………………8分
(2)解：由点P的轨迹方程知
所以
……10分
故当
，
取得最小值，最小值为
时，取得最大值，
最大值为
……………………12分
注：若将
代入
的表达式求解，可参照上述标准给分.
30．(2004. 辽宁卷)(本小题满分12分)
设椭圆方程为
，过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，
点P满足
，点N的坐标为
，当l绕点M旋转时，求：
(1)动点P的轨迹方程；
(2)的最小值与最大值.
29、(2004. 上海卷文科)圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C的方程为 (x－2)2+(y+3)2=5 .
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