线线、线面、面面关系贯穿于立体几何始终，距离问题便是依托于这三种关系及其转化的一种重要问题。

　 例1. (’89全国高考)如图，已知圆柱的底面半径是3，高为4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且，求直线AB与轴之间的距离。

　　 分析：如图1，过A作AC垂直于底面，垂足为C，连结BC，则平面ABC

　　 显然两直线与AB的距离，即可转化为直线与平面ABC的距离，进而转化为O到平面ABC的距离，易得，所求距离。

　 　说明：两条异面直线的距离，线面距离，点面距离。面面距离，既相互联系，又可相互转化。距离转化策略，正是解决此类问题的上策。

函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。

[例]用导数求函数()的单调区间。

解：(用第一种关系及单调区间的合并)，当，即或时，∴在，上为增函数，又∵在处连续，且相邻区间的单调性又相同，∴在上为增函数。

旧教材很少提到函数单调区间的合并，原因在于教师很难讲，学生很难把握，但是新教材引进函数的连续性和导数之后就很容易说明，也很容易理解了。

综之，用导数证明划分函数的单调性是导数最常用、也是最基本的应用，其它重要性如极值、最值等都必须用到单调性。它比用单调性的定义证明要简单许多，划分也容易理解得多。讨论可导函数得单调性可按如下步骤进行：

(1)　　　 确定的定义域；(2)求，令，解方程求分界点；

(3)用分届点将定义域分成若干个开区间；

(4)判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性。

以下是前几年高考用导数证明、求单调性的题目，举例说明如下：

例1设，是上的偶函数。

(I)求的值；(II)证明在上是增函数。(2001年天津卷)

解：(I)依题意，对一切有，即，

∴对一切成立，由此得到，，又∵，∴。

(II)证明：由，得，

当时，有，此时。∴在上是增函数。

例2设函数，其中。(2000年全国、天津卷)

(I)解不等式；(II)证明：当时，函数在区间上是单调函数。

解1：(I)分类讨论解无理不等式(略)。 (II)作差比较(略)。

解2：(i)当时，有，此时，函数在区间上是单调递减函数。但，因此，当且仅当时，。

(ii)当时，解不等式，得，在区间上是单调递减函数。解方程，得或，

∵，　 ∴当且仅当时，，

综上，(I)当时，所给不等式的解集为：；

当时，所给不等式的解集为：。

(II)当且仅当时，函数在区间上时单调函数。

例3设，求函数的单调区间。(2003年高考(理)19题)

解：()　 当，时，

，，

(i)当时，对所有，恒有，即，此时在单调递增；

(ii)当时，对，恒有，即，此时在单调递增，在单调递增，

又知函数在处连续，因此在单调递增；

(iii)当时，令，即，

解得或，因此，函数在单调递增，在单调递增，令，即，

解得，

因此，函数在上单调递减。

本题用传统作差比较法无法求函数的单调区间，只有用导数才行。

3．与为增函数的关系。

由前分析，为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，特别是研究以下问题时。

2．时，与为增函数的关系。

若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。

1．与为增函数的关系。

由前知，能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。

(三)解答题

　　 20.在10个数-9，-7，-5，-1，0，2，4，6，8中任取两个数构成虚数a+bi　 (a≠b)，

　　 求(1) 这样不同的虚数有多少个?

　　 (2)有多少个辐角主值θ∈(，π)的 不同虚数?

　　 (3)有多少个模大于5的不同虚数.

　　 21.将数字0，1，2，3，5组成没有重复数字的五位偶数，按从小到大次序排列，那么第25个数是什么?

　　 22.证明9·3²ⁿ-8n-9能被64整除(n∈N).

　　 23.设(2-x)¹⁰⁰=a₀+a₁x+a₂x²+……+a₁₀₀x¹⁰⁰， 求(a₀+a₂+a₄+……+a₁₀₀)²-(a₁+a₃+a₅+……+a⁹⁹)²的值.

24.若()ⁿ展开式的二项式 系数中第二、第三、第四项的系数成一个等差数列，且展开式第六项是21，求x.

(二)填空题

16.n是正奇数，则7ⁿ+7^n-1C1_n+7^n-2C2_n+7C^n-1_n除以9的余 数是　　　　　　　　 .

　　 17.今天是星期日，从今天起2¹⁹⁹¹天后的第一天是星期　　　　　　　 .

　　 18.满足C⁷_x＜C⁵_x的所有自然数x的和等于　　　　　　　 .

　　 19.1.009⁶精确到0.001的近似值是　　　　　　　　　 .

(一)选择题

　　 1.有多少个整数n能使(n+i)⁴成为整数(　　 )

　　 A.0　　　　　 B.1　　　　　 C.2　　　　　 D.3

　　 (2)已知(ax+1)²ⁿ和(x+a)²ⁿ⁺¹的展开式中含xⁿ项的系数相同(a≠0为实数，n ∈N)，则a的取值范围是(　　 )

　　 A.a=1　 　　　B.a＞1　　　 C.a＜ 1　　　 D.a≥1

　　 3.在ⁿ的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二项式系数是(　　 )

　　 A.330　　　　 B.462　　　　 　C.682　　　　 D.792

　　 4.在()⁸的展开式中的常数项是 (　　 )

　　 A.7　　　　　 B.-7　　　　　 C.28　　　　 　　D.-28

　　 5.n∈N，A＝(+2)²ⁿ⁺¹，B为A的小数部分，则AB的值应是(　　 )

　　 A.7²ⁿ⁺¹ B.2^{2n+1　　　　　　　　　 C.32n+1} D.5²ⁿ⁺¹

　　 6.某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数、理、化单科竞赛，每人参 加一种，共有90种不同的参赛方案，则男女生的人数应是(　　 )

　　 A.男生6名，女生2名　　　　 B.男生5名，女生3名

　　 C.男生3名，女生5名　　　　 D.男生2名，女生5名

　　 7.从0，1，2，3，4中每次取出3个不同的数字组成三位数，则这些三位数的个位数字之和等 于(　　 )

　　 A.80　　　　　 B.90　　　　　 C.110　　　　　 D .120

　　 8.从集合{1，2，3，……10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数 的和不等于11，则这样的子集共有(　　 )

　　 A.10个　　　 B.16个　　　　 C.20个　　　　 D.32个

　　 9.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球投 放在这5个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰有两个球的编号与盒子的编号相同，则 这样的投放方法的总数为(　　 )

　　 A.20　　　　　 B.30　　　　　 C.60　　　　　 D. 120

　　 10.用0，1，2，3，4，5，6这7个数字排成一个数字不重复且个位数最大，十位数次之，百 位数最小的三位数的个数是(　　 )

　　 A.10　　　　　 B.20　　　　　 C.30　　　　　 D. 40

　　 11.要排一张5个独唱节目和3个合唱节目的演出节目表，如果合唱节目不排头，并且任何两 个合唱节目不相邻，则不同排法的种类是(　　 )

　　 A.P⁸₈ B.P⁵₅·P³₃ C.P⁵₅·P³₅ D.P⁵₅·P³₈

　　 12.3人坐在一排8个座位上，若每人左右两边都有空座位，则坐法种数是(　　 )

　　 A.12　　　　 B.6　　　　　　 C.24　　　　　 D. 120

　　 13.设A，B分别为(1+x)ⁿ展开式中的奇数项之和及偶数项之和，那么A²-B²的值为(　　 )

　　 A.(1+x)²ⁿ　　　　　　 B.(1+x)ⁿ

　　 C.-(1-x²)ⁿ　　　　　 D.不是以上结果

　　 14.(2x+)²ⁿ的展开式中，x²的系数是224，则的系数是(　　 )

　　 A.14　　　　　　　 B.28　　　　　 C.56　　　　　 D.112

　　 15.在()ⁿ的展开中，倒数第三项的系数的绝对值是45，则展形式中a²项的系数是(　　 )

　　 A.120　　　　　 B.-120　　　　 C.210　　　　　 D.-210

(五)综合例题赏析

　　 例8　 若(2x+)⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则(a₀+a₂+a₄)²-(a₁+a₃)²的值为(　　 )

　　 A.1　　　　　　　　　　　　 B.-1　　　　　　 C.0　　　　　 D.2

　　 解：A.

　　 例9　 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有(　　 )

　　 A.6种　　　　　　 B.12种　　 　　　C.18种　　　　　　 D.24种

　　 解　 分医生的方法有P²₂＝2种，分护士方法有C²₄=6种，所以共有6×2＝12种不同 的分配方法。

　　 应选B.

　　 例10　 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其 中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有(　　 ).

　　 A.140种　　　　　 B.84种　　　　　 C.70种　　　　　 D.35种

　　 解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.

　　 ∵C²₄·C¹₅+C²₅·C¹₄=5×6+10×4=70.

　　 ∴应选C.

　　 例11　 某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女生当选的不同选法有(　　 )

　　 A.27种　　　 B.48种　　　 C.21种　　　 D.24种

　　 解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：

　　 ∵C¹₃·C¹₇+C²₃=3×7+3=24，

　　 ∴应选D.

　　 例12　 由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字小于十位数字的共有(　　 ).

　　 A.210个　　　　　　　　　 B.300个

　　 C.464个　　　　　　　　　 D.600个

　 　解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P¹₅·P⁵₅=600个.

　　 由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.

　　 ∴有×600=300个符合题设的六位数.

　　 应选B.

　　 例13　 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有(　　 ).

　 　A.70个　　　　　　　　　 B.64个

　　 C.58个　　　　　　　　　 D.52个

解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C⁴₈=70个.

　　 其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如(ADB₁C₁ )的有4组.

　　 ∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)

　　 应选C.

　　 例14　 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有(　　 ).

　　 A.12对　　　　　 　　　　　　 B.24对

　　 C.36对　　　　　　　　　　　 D.48对

　 　解：设正六棱锥为O-ABCDEF.

　　 任取一侧棱OA(C¹₆)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.

　　 ∴共有C¹6×4=24对异面直线.

　　 应选B.

　　 例15　 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点 为顶点的三角形共　　　　 个(以数字作答).

　　 解：7点中任取3个则有C³₇=35组.

　　 其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).

　　 ∴三角形个数为35-3=32个.

　　 例16　 设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集 数为T，则的值为　　　　　　　　 。

　 　解 　10个元素的集合的全部子集数有：

　　 S＝C⁰₁₀+C¹₁₀+C²₁₀+C³₁₀+C⁴₁₀+C⁵₁₀+C⁶₁₀+C⁷₁₀+C⁸₁₀+C⁹₁₀+C¹0₁₀=2¹⁰=1024

　　 其中，含3个元素的子集数有T=C³₁₀=120

　　 故=

例17　 在50件产品 n 中有4件是次品，从中任意抽了5件 ，至少有3件是次品的抽法共　　 　　　　　　种(用数字作答).

　 　解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.

　　 ∴C³₄·C²₄₆+C⁴₄·C¹₄₆=4186(种)

　　 例18　 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、 丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有(　　 ).

　　 A.1260种　　　　　　　　　　 B.2025种

　　 C.2520种　　　　　　　　　　 D.5040种

　 　解：先从10人中选2个承担任务甲(C²₁₀)

　　 再从剩余8人中选1人承担任务乙(C¹₈)

　　 又从剩余7人中选1人承担任务乙(C¹₇)

　　 ∴有C²₁₀·C¹₈·C¹₇=2520(种).

　　 应选C.

　　 例19　 集合{1，2，3}子集总共有(　　 ).

　　 A.7个　　　 B.8个　　　 C.6个　　　 D.5个

　　 解 　三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的子集数

　　 C¹₃，由二个元素组成的子集数C²₃。

　　 由3个元素组成的子集数C³₃。由加法原理可得集合子集的总个数是

C¹₃+C²₃+C³₃+1=3+3+1+1＝8

　　 故此题应选B.

　　 例20　 假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有两件次品的抽法有(　　 ).

　　 A.C²₃C³₁₉₇种　　　　 B.C²₃C³₁₉₇ +C³₃C²₁₉₇

　　 C.C⁵₂₀₀-C⁵₁₉₇ D.C⁵₂₀₀-C ¹₃C⁴₁₉₇

　　 解：5件中恰有二件为次品的抽法为C²₃C³₁₉₇，

　　 5件中恰三件为次品的抽法为C³₃C²₁₉₇，

　　 ∴至少有两件次品的抽法为C²₃C³₁₉₇+C³₃C²₁₉₇.

　　 应选B.

　　 例21　 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是(　　 ).

　　 A.C⁵₈C³₈ B.P¹₂C⁵₈C³₈

　　 C.P⁵₈P³₈ D.P⁸₈

　　 解：对于8个人的任意一个排列均可“按先前排从左到右再后排从左到右”的次序入座.

　　 ∴应有P⁸₈种不同的入座法.

　　 应选D.

　　 例22　 7人并排站成一行，如果甲、乙必须不相邻，那么不同排法的总数是 (　　 ).

　　 A.1440　　　 B.3600　　　 C.4320　　　 D.4800

　　 解：7人的全排列数为P⁷₇.

　　 若甲乙必须相邻则不同的排列数为P²₂P⁶₆.

　　 ∴甲乙必须不相邻的排列数为P⁷₇-P²₂P⁶₆=5P⁶₆=3600.

　　 应选B.

　　 例23　 用1，2，3，4，四个数字组成没有重复的四位奇数的个数是　　　　 个(用具体数字作答).

　　 解：末位数(C¹₂)，前三位数(P³₃).

　　 ∴有C¹₂P³₃=12个四位奇数.

　　 例24　 用1，2，3，4，四个数字组成的比1234大的数共有　　　　 个(用具体 数字作答).

　　 解：若无限制，则可组成4!=24个四位数，其中1234不合题设.

　　 ∴有24-1=23个符合题设的数.

　　 例25　 用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的四位数，那么在这些 四位数中，是偶数的总共有(　　 ).

　　 A.120个　　　 B.96个　　　 C.60 个　　　 D.36个

　　 解：末位为0，则有P³₄=24个偶数.

　　 末位不是0的偶数有P¹₂P¹₃P²₃=36个.

　　 ∴共有24+36=60个数符合题设.

　　 应选C.

　　 例26　 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：

　　 (1)CA∪B，且C中含有3个元素；

　　 (2)C∩A≠(表示空集).

　　 解：∵A∪B含有12+12-4=20个元素；

　　 B含12个元素，

　　 ∴∩B含20-12=8个元素，

　　 若C中恰含A中1个元素，则有C¹₁₂·C²₈个，

　　 若C中恰含A中2个元素，则有C²₁₂·C²₈·C²₈个，

　　 若C中恰含A中3个元素，则有C³₁₂个，

　　 ∴符合题设的集合C的个数为

　　 C¹₁₂C²₈+C²₁₂C¹₈+C³₁₂=1084个.

　　 例27　 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4 个不共面的点，不同的取法共有(　　 )

　　 A.150种　　 B.147种　　 C.144种　　 D.141种

　　 解：从10点中任取4点的组合数为C⁴₁₀=210.

　　 其中有4·C⁴₆=60组点，每组中的四点恰为一个侧面上的点.

　　 其中任取同一棱上3点它们和相对棱的中点共面，即有6组这种情况应排除.

　　 其中还有底面两棱中点和对面两棱中点共面，即有3组这种情况应排除.

　　 ∴符合题设的取法有150-6-3=141种.

　　 应选D.

　　 例28　 已知()⁹的展开式中x³的系数为，常数a的值为　　　　　 .

　　 解：T_k+1=C^k₉()^9-k()^k

 =C^k₉·a^9-k2·x^k-9+

　　 令k-9+=3，得k=8，

　　 ∴x³的系数为C⁸₉·a·2^-4=.

　　 即a=,得a=4.

　　 例29　 ()⁶的展开式中的常数项为(　　 )

　　 A.-160　　　　　　　 B.-40　　　　　 C.40　　　　　 D.160

　　 解：T_k+1=C^k₆()^6-k(-)^k

 =C^k₆·(-2)^k·x

　　 令=0，得k=3

　 　∴常数项为C³₆·(-2)³=-160

　　 应选A.

　　 例30　 若()ⁿ展开式 中前三项系数成等差数列，求出展开式里的有理项。

　 　解　 由于展开式前三项系数成等差数列

　　 所以　 2C¹_n()=C⁰_n+C²_n()²，n=1+

　　 解方程得n=9或n=1(舍去)

　　 又展开式的通项为

　　 T_γ+1=C^γ₈(x)^8-γX=C^γ₈()^γx

　　 因0≤4-≤8,且4-是整数。

　　 所以γ是4的倍数。

　　 取γ=0或γ=4

　 　故()⁸展开式中第一项和第五项为有理 项，其有理项为

　　 T₁＝C⁰₈x⁴＝x⁴

　　 T₅＝C⁴₈()⁴(x^4-3)＝×

　　 例31　 (x+2)¹⁰(x²-1)的展开式中x¹⁰ 的系数是　　　　　　　　 (用数字作答)。

　　 解 　因(x+2)¹⁰展开式中x¹⁰的系数是1，x⁸的系数为C²₁₀2²＝180 ，所以(x+2)¹⁰(x²-1)的展开式中，x¹⁰的系数为180-1＝179

　　 例32　 91⁹²除以100的余数　　　　　　 .

　　 解：91⁹²=(100-9)⁹²≡9⁹²(mod 100).

　　 9⁹²=(10-1)⁹²=10⁹²-…+C⁹⁰₉₂·100-C⁹¹₉₂10+1

　　 ≡ -C⁹¹₉₂·10+1(mod 100)

　　 -C⁹¹₉₂·10+1=-920+1=-919≡-19(mod 100)，

　　 -19≡81 (mod 100).

　 　∴91⁹²除以100的余数是81.

　　 例33　 由()¹⁰⁰的展开所得的x的多项式中，系数为有理数的共有(　　 )

　　 A.50项　　　 B.17项　　　 C.16项　　　 D.15项

　 　解：T_k+1=C^k₁₀(x)^10-k()^k

　　 =C^k₁₀·()^10-k()^k(x)^10-k(k=0，1，2，…，100)

　　 由∈N，∈N，k∈{0，1，2，…，100}，得

　　 k=0，6，12，18，…，96，共17项.

　　 ∴应选B.

　　 例34　 在(3-x)⁷的展开式中，x⁵的系数是　　　　 (用数字作答).

　　 解：T_k+1=C^k₇·3^7-k·(-x)^k=C^k₇·(-1)^k·x^k，

　　 ∴T₆=C⁵₇·3⁷-5·(-1)⁵x⁵=-189x⁵.

　　 即x⁵的系数是-189.

　　 例35　 在(1-x³)(1+x)¹⁰的展开式中，x⁵的系数是(　　 ).

　　 A.-297　　　 B.-252　　　 C.297　　　 D.207

　　 解：(1-x³)(1+x)¹⁰

　　 =(1-x³)(…+C⁵₅₀x⁵+…+C²₁₀x²+…)

　　 ∴x⁵的系数为+C⁵₅₀-C²₁₀=207.

　　 应选D.

　　 例36　 求(2x³-)¹⁵的展开式的常数项.

　　 解：T_k+1=C^k₅·(2x³)^5-k·(-)^k=(-1)^k ·C^k₅·2^5-k·x^15-3k-2k

　　 令15-5k=0，得k=3

　　 ∴常数项为T₄=(-1)³·C³₅·2^5-3=-40.

　　 例37　 在(x-)⁸的展开式中，x⁴的系数与的系数之差是　　　　　　 .

　　 解：T_k+1=C^k₈·(-x)^8-k·(-)^k=C^k₈·(-1)^k·x^8-k-k.

　　 令8-2k=-4，得k=6，得k=2，

　　 ∴T₇=C⁶₈·(-1)⁶=28·.

　　 ∴x⁴与的系数之差是28-28=0.

　　 例38　 已知(x+a)⁷的展开式中，x⁴的系数是-280，则a= 　　　　　　.

　　 解：T₄=C³₇·x⁴a³=C³₇a³x⁴.

　　 由已知C³₇a³=-28035a³=-280，得a=-2.

　　 例39　 在(1-x²)²⁰的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数 相等，

　　 (1)求r的值；

　　 (2)写出展开式中的第4r项和第r+2项.

　　 解：(1)第4r项和第r+2项的二项式系数分别是和

　　 =4r-1=r+1或4r-1+r+1=20，

　　 得r=4和r=(舍去)

　　 ∴r=4

　　 (2)T_4r=T₁₆=C¹⁵₂₀·(-x²)¹⁵=-15504x³⁰，

　　 T_r+2=T₆=C⁵₂₀(-x²)⁵=-15504x¹⁰

　　 例40　 在(1+x+x²)(1-x)¹⁰的展开式中，x⁵的系数是　　　　 (用具体数字作答).

　 　解：(1+x+x²)(1-x)¹⁰

　　 =(1+x+x²)(1-1x+45x²-120x³+210x⁴-252x⁵+…)

　　 =…+(-120+210-252)x⁵+….

　　 ∴x⁵的系数是-120+210-252=-162.

　　 例41　 已知(1-2x)⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷；那么a₁+a₂+ …+a₇=　　　　 .

　　 解：令x=1，代入已知式，得-1=a₀+a₁+…+a₇，

　　 将x=0代入已知式，得1=a₀

　　 ∴a₁+a₂+…+a₇=-1-a₀=-2.

　　 例42　 如果n是正偶数，则C⁰_n+C²_n+C⁴_n+…+C^n-2_n+Cⁿ_n=(　　 ).

　　 A.2ⁿ　　　 B.2^{n-1　　　 C.2n-2} D.(n-1)^2n-1　　　　 E.(n-1)^2n-2

　 　解：∵C⁰_n+C²_n+…+C^n-2_n+Cⁿ_n=C¹_n+C³_n+…+C^n-1_n ，

　　 又(C⁰_n+C²_n+…+C^n-2_n+Cⁿ_n)+(C¹_n+C³_n+…+C^n-1_n)= 2ⁿ，

　　 ∴2(C⁰_n+C²_n+…+C^n-2_n+Cⁿ_n)=2ⁿ，

　　 C⁰_n+C²_n+…+C^n-2_n+Cⁿ_n=2^n-1.

　　 应选B.

[同步达纲练习]

(四)二项式定理、二项展开式的性质

　　 说明　 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等， 题型主要为选择题或填空题.

　　 例6 　在(x-)¹⁰的展开式中，x⁶的系数是(　　 )

　　 A.-27C⁶₁₀　　　　 B.27C⁴₁₀　　　　 C.-9C⁶₁₀　　　　 D.9C⁴₁₀

　　 解　 设(x-)¹⁰的展开式中第γ+1项含x⁶，

　　 因T^γ+1=C^γ₁₀x^10-γ(-)^γ，10-γ=6,γ=4

　　 于是展开式中第5项含x⁶，第5项系数是C⁴₁₀(-)⁴=9C⁴₁₀

　　 故此题应选D.

　　 例7　　 (x-1)-(x-1)²+(x-1)³-(x-1)⁴+(x-1)⁵的展开式中的x²的 系数等于　　　　　　 　　

　　 解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为

　　

　　 在(x-1)⁶中含x³的项是C³₆x³(-1)³=-20x³，因此展开式中x²的系数是-2 0.