1．已知复数z₁=3+i，z₂=1-i，则复数z₁·z₂的虚部为

(A)2i　　　　 (B)-2i　　　　　　　 (C)2　　　　　 (D)-2

18．已知△ABC中，三个内角是A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，且

　　　　 (I)求证：△ABC是直角三角形；(II)设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°,.求四边形ABCP的面积.

解：(Ⅰ)证明：根据正弦定理得，

整理为，sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A+2B=　 ∴.

　 ∴舍去A=B.　 ∴即.故△ABC是直角三角形.

(Ⅱ)解：由(1)可得：a=6，b=8.在Rt△ACB中，

∴ ==

连结PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5.

∴四边形ABCP的面积=24+=18+.

19已知集合．(1)求；(2)若以为首项，为公比的等比数列前项和记为，对于任意的，均有，求的取值范围．

[解析](1)由得

当时，．当时， ，当时，．综上，时，；时，；当时， ．

(2)当时，．而，故时，不存在满足条件的；

当时，，而是关于的增函数，所以随的增大而增大，当且无限接近时，对任意的，，只须满足 解得． 当时，．显然，故不存在实数满足条件．　 当时，．，适合．当时，．

，

，

，且故．

故只需 即 解得．综上所述，的取值范围是．

20设一动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点的直线交y＝x(x>0)于点Q，动点M在什么位置时，有最大值，并求出这个最大值．

[解析] 设，要它与相交，则．

　　　 令，令，得． ∴．

　　 ∴于是．由，∴．而当l的方程为x＝2时，u＝2， ∴对应得k＝－2， ．

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17．设无穷数列{a_n}具有以下性质：①a₁=1；②当(Ⅰ)请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证(或证明)；(Ⅱ)若，其中，且记数列{b_n}的前n项和B_n，证明：

解：(Ⅰ)令，则无穷数列{a_n}可由a₁ = 1，给出.

　　 显然，该数列满足，且 　

　 (Ⅱ) 　又

15.已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为(-1，0)、(1，0)，动点A、M、N满足()，，，．(Ⅰ)求点M的轨迹W的方程；(Ⅱ)点在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且，若，求实数的范围．

解：(Ⅰ)∵，，∴ MN垂直平分AF．又，∴ 点M在AE上，

∴ ，，∴ ，　　 ∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴，半焦距，∴ ．

∴ 点M的轨迹W的方程为()．

(Ⅱ)设∵ ，，∴ 　　　∴ 　

由点P、Q均在椭圆W上，

∴ 　　消去并整理，得，由及，解得．　　

16已知函数的定义域为，导数满足0＜＜2　 且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根．(Ⅰ)若对任意，存在，使等式成立．试问：方程有几个实数根；(Ⅱ)求证：当时，总有成立；(Ⅲ)对任意，若满足，求证：。

解：(I)假设方程有异于的实根m，即．则有成立 ．因为，所以必有，但这与≠1矛盾，因此方程不存在异于c₁的实数根．∴方程只有一个实数根．

(II)令，∴函数为减函数．又，

∴当时，，即成立．

(III)不妨设，为增函数，即．又，∴函数为减函数即．，即．，．

14．已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0．(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

　(Ⅱ)设数列{a_n}满足条件：a₁∈(1,2)，a_n+1=f (a_n) 求证：(a₁－ a₂)·(a₃－1)+(a₂－ a₃)·(a₄－1)+…+(a_n－ a_n+1)·(a_n+2－1)＜1

解：(Ⅰ)由f(x)=x³+ax²+bx+c关于点(1,1)成中心对称，所以x³+ax²+bx+c+(2－x)³+a(2－x)²+b(2－x)+c=2　　　　　　

对一切实数x恒成立．得：a=－3，b+c=3，对由f '(1)=0，得b=3，c=0，故所求的表达式为：f(x)= x³－3x²+3x．(Ⅱ) a_n+1=f (a_n)= a_n ³－3 a_n ²+3 a_n　　 (1)令b_n=a_n－1，0<b_n<1，由代入(1)得：b_n+1=，b_n=，

∴ 1＞b_n ＞b_n+1 ＞0 (a₁－a₂)·(a₃－1)+(a₂－a₃)·(a₄－1)+…+(a_n－a_n+1)·(a_n+2－1)=

＜=b₁-b_n+1＜b₁＜1。　　　　　　　 　　

13．定义在N*上的函数满足：f(0) = 2，f(1) = 3，且．

(Ⅰ)求f(n)(nÎN*)；(Ⅱ)求．

解(Ⅰ)由题意：，所以有：，又，所以，即故．

(Ⅱ)．

12．等差数列的前项和为，公差. 若存在正整数，使得，则当()时，有(填“>”、“<”、“=”)． 　

※设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₂＞0，S₁₃＜0，则 ，，…， 中最大的是　 B

　　 (A) 　　　　　　 (B) 　　　　　　 (C) 　　　　　　 (D)

11．已知△ABC，若对任意t∈R，≥，则C

A．∠A=90⁰　　 B．∠B＝90⁰　 　　C．∠C＝90⁰　　 D．∠A＝∠B＝∠C＝60⁰

10. 在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若=m，=n，则= mn. 拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若= m，=n，= p，则=

9．已知f (x)＝x+1，g (x)＝2x+1，数列{a_n}满足：a₁＝1，a_n+1＝则数列{a_n}的前2007项的和为A．5×2²⁰⁰⁸－2008　　　　 　 B．3×2²⁰⁰⁷－5020　 C．6×2²⁰⁰⁶－5020　　 D．6×2¹⁰⁰³－5020

[解析]∵a_2n+2＝a_2n+1+1＝(2a_2n+1)+1＝2a_2n+2，∴a_2n+2+2＝＝2(a_2n+2)，

∴数列{a_2n+2}是以2为公比、以a₂＝a₁+1＝2为首项的等比数列．

∴a_2n+2＝2×2 ^n－1，∴a_2n＝2 ⁿ－2．

又a_2n+a_2n+1＝ a_2n+2a_2n+1＝3a_2n+1，∴数列{a_n}的前2007项的和为

a₁+( a₂+ a₃)+ ( a₄+ a₅)+ ( a₆+ a₇)+ …+ ( a₂₀₀₆+ a₂₀₀₇)

＝ a₁+(3a₂+1)+ (3a₄+1)+ (3a₆+1)+ …+ (3a₂₀₀₆+1)

＝ 1+(3×2－5)+ (3×2²－5)+ (3×2³－5)+ …+ (3×2¹⁰⁰³－5)

＝ 1+(3×2－5)+ (3×2²－5)+ (3×2³－5)+ …+ (3×2¹⁰⁰³－5)

＝ 3×(2+2²+2³+…+2¹⁰⁰³+1－5×1003

＝6×(2¹⁰⁰³－1)+1－5×1003＝6×2¹⁰⁰³－ 5020 ，故选D．