1.为了了解舒城县今年学生的高考成绩,从1万4千名考生中抽取了100名学生的成绩进行统计,在这个问题中,下列表述正确的是(　　 )

　 A. 1万4千名考生是总体　　　　　　　　 B.样本容量是100

　 C. 每一名学生是个体　　　　　　　　　　 D.100名学生是总体的一个样本

　 答案:B

22．(本小题满分14分)已知R,函数(x∈R).

　　 (1)当时，求函数的单调递增区间;

　　 (2)函数是否在R上单调递减，若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由;

　　 (3)若函数在上单调递增，求的取值范围.

解： (1) 当时,,　 .　 …… 2分

令,即,即，解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

函数的单调递增区间是.　　　　　　　　　　　 …… 4分

(2) 若函数在R上单调递减,则对R都成立,　　 …… 5分

即对R都成立,　 即对R都成立. …… 6分

　　 ,　 解得.　　　　　　　　　　　　　　 …… 7分

　 当时, 函数在R上单调递减.　　　　　　 …… 8分

　(3) 解法一：函数在上单调递增,对都成立,… 9分

对都成立. 对都成立,… 10分　　　　 　　即对都成立.　　　　　　　　　　　　　 …… 11分

令, 则.

当时，；当时，.

在上单调递减,在上单调递增. ，

在上的最大值是.　　　　 .　　　　 …… 14分

解法二： 函数在上单调递增,　　 对都成立,

对都成立.即对都成立.…… 10分

令，则 解得　　 …… 13分　　　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　…… 14分

21．(本小题满分14分)已知函数f(x)满足f(x－3)＝log₅　　　(3≤x≤5)。

　(1)求函数f(x)解析式及定义域；　　　　 (2)求函数f(x)的反函数f^－1(x)；

(3)若f(x)≥log₅(2x)，求x的取值范围。

解：(1)设t＝x－3,则x=t+3.

∵f(x－3)=log₅,∴f(t)=log₅，　　…… 2分

∵3≤x≤5，,0≤t≤2。由得0≤t≤2 ……4分

于是f(x)＝log₅，且定义域为[0,2]。…… 6分

(2)　 　设y=f(x)=log₅,则＝5^y，即x=，…… 7分

∴f^-－1(x)= .　　　　…… 8分

∵0≤x≤2，　∴1≤3-x≤3，∴＝－1+∈[1，5]

从而log₅∈[0,1]。…… 7分

故函数f(x)的反函数为f^-－1(x)= (0≤x≤1)…… 10分

(3)f(x)≥log₅(2x)

0＜x≤1或≤x≤2。　　　…… 14分

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(x+1)－x.

(1)求函数f (x)的单调递减区间;

(2)若x>－1,证明：1－≤ln(x+1)≤x.

解：　 (1)函数f(x)的定义域为(－1,+∞),f ′(x)=－1=－.…… 2分

由f ′(x)<0及x>－1得x>0.∴当x∈(0,+∞)时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为(0,+∞).　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…… 4分

　(2)由(1)知，当x∈(－1,0)时，f ′(x)>0;当x∈(0,+∞)时，f ′(x)<0.　 …… 6分

因此，当x>－1时，f(x)≤f(0)，即ln(x+1)－x≤0.

∴ln(x+1)≤x.令g(x)=ln(x+1)+－1,　　　　　　　　　 …… 7分

则g′(x)=－.　　　　　　　 …… 8分

当x∈(－1,0)时，g′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0.

∴当x>－1时，g(x)≥g(0),即ln(x+1)+－1≥0,

∴ln(x+1)≥1－.　　　　　　　　　　　　　　 …… 11分

综上可知，当x>－1时，有1－≤ln(x+1)≤x. …… 12分

18．(本小题满分12分)设函数 ，求x的取值范围.

解：由于是增函数，等价于　①…… 2分

1)当时，，①式恒成立。…… 4分

2)当时，，①式化为，即…… 8分

3)当时，，①式无解…… 10分

综上的取值范围是…… 12分

19(本小题满分12分).已知函数f (x)对任意的实数x、y都有f (x+y)=f (x)+f (y)+2y(x+y)+1,且f (1)=1.

(1)若x∈N*,试求f (x)的表达式；

(2)若x∈N*且x≥2时，不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立，求实数a的取值范围.

解: 　(1)令y=1,则f (x+1)=f (x)+f (1)+2(x+1)+1　　 …… 2分

∴f (x+1)－f (x)=2x+4　　　　　 　　　　　　　　…… 4分

∴当x∈N*时，有f (2)－f (1)=2×1+4

f (3)－f (2)=2×2+4,f (4)-f (3)=2×3+4.

…

f (x)－f (x-1)=2(x-1)+4.　　　　　　　　　　　 …… 5分

将上面各式相加得f (x)=x²+3x－3　(x∈N*).　　 …… 6分

　(2)当x∈N*且x≥2时，f (x)=x²+3x－3.

要使不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立.

即当x∈N*且x≥2时,不等式x²+3x－3≥(a+7)x－(a+10)恒成立, …… 7分

即x²-4x+7≥a(x－1)恒成立

∵x≥2,∴≥a恒成立. …… 8分

又=(x－1)+－2≥2. …… 10分

　(当且仅当x－1=即x=3时取“等号”)

∴的最小值是2，故a≤2. …… 12分

17．(本小题满分10分)若不等式x²－2ax+a>0，对 x∈R恒成立, 求关于t的不等式<1的解集。

解：若不等式x²－2ax+a>0,对 x∈R恒成立，则…… 4分

　又 <1，则　　　　　　　　　　　　 …… 5分

即　 ∴1< t <2　 …… 9分　 不等式的解集为{t┃1< t <2}…… 10分

16．曲线y=x(x+1)(2－x)有两条平行于直线y=x的切线，则两切线之间的距离是　　　　　 .

解：　 (分析　 从y′=1入手，写出两切线的方程.)

　 y=-x+x+2x,∴y′=-3x+2x+2.所求直线与直线y=x平行.∴k=1.令y′=1,即3x－2x－1=0,(3x+1)(x－1)=0,x=－或1,x=－时,

y=(－)+－=－,x=1时,　y=-1+1+2×1=2.

故切点为A,B(1,2)切线方程为:l:y+=x+,即x－y－=0,l:y－1=x－2,

即x-y+1=0,两切线间的距离为:d==.

15. 已知z=|log₂m+4i|+2i，若|z|=，则实数m=　　　 1　 ．

14.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是　　　　 　.

[解析]：由=0，得，

　　　　 当时，>0，当时，<0，当时，>0，故的极小值、极大值分别为，而

故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。

13． 已知P=，Q=，且x∈P是x∈Q的必要条件，则实数a的取值范围是­­­_________________

解析]:由 x²－3x+3＜0 得 1＜x＜3，由得a－4＜x＜a+4, ∵x∈P是x∈Q的必要条件，∴QP 则　 　　∴－1≤a≤5