3．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分为若干组，并作出频率分布直方图。已知[a，b]是其中的一组，抽查出的个体在该组的频率为m，该组直方图的高为h，则|a-b|=

A．hm　　 　　　　　　　　 B．　　　 　　　　　　　 C．　　 　　　　　　　　 D．

2．设，则

A．　　 　　 B．　　　 　 C．　　　 　　　 D．

1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A，BU，若A∩B={2}，()∩B={4}，()∩()={1，5}，则下列结论中正确的是

A．　 　　 B．　　 C．　　 　 D．

22.已知数列中，，．

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若数列中，，，

证明：，．

(Ⅰ)由题设：

，

．

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

，

即的通项公式为，．

(Ⅱ)用数学归纳法证明．

(ⅰ)当时，因，，所以

，结论成立．

(ⅱ)假设当时，结论成立，即，

也即．

当时，

，

又，

所以　

．

也就是说，当时，结论成立．

根据(ⅰ)和(ⅱ)知，．

　排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支　 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队(胜得1分 败得0分)

解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支

所有球队总得分为

南方球队总得分为

北方球队总得分为

南方球队内部比赛总得分

北方球队内部比赛总得分

解得：

因为为整数

x=6或x=8

当x=6时

所有球队总得分为=210

南方球队总得分为=189

北方球队总得分为=21

南方球队内部比赛总得分=105

北方球队内部比赛总得分=15

北方胜南方得分=21-15=6

北方球队最高得分=5+6=11

因为11×15=165<189

所以南方球队中至少有一支得分超过11分．

冠军在南方球队中

当x=8时

所有球队总得分为=300

南方球队总得分为=270

北方球队总得分为=30

南方球队内部比赛总得分=136

北方球队内部比赛总得分=28

北方胜南方得分=30-28=2

北方球队最高得分=7+2=9

因为9×17=153<270

所以南方球队中至少有一支得分超过9分．

冠军在南方球队中

综上所述，冠军是一支南方球队

21.设函数.

(Ⅰ)求f (x)的单调区间；

(Ⅱ)若当时，不等式f (x)<m恒成立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)若关于x的方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

　解：(Ⅰ)函数的定义域为(-1, +∞).…………………………………………… 1分

　　　　　 ∵ ,　

由，得x>0；由，得.………………… 3分

∴ f (x)的递增区间是，递减区间是(-1, 0).………………… 4分

(Ⅱ)∵ 由，得x=0,x=-2(舍去)

由(Ⅰ)知f (x)在上递减，在上递增.　

又 ， , 且.

∴ 当时，f (x)的最大值为.

故当时，不等式f (x)<m恒成立.……………………………… 9分

(Ⅲ)方程,　 .

　　　 记,

　　　 ∵ ,　 　　　

由,得x>1或x<-1(舍去).　 由, 得.

　　　　　　 ∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增.

　　　　　　 为使方程在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，

　　　　　　 只须g(x)=0在[0,1]和上各有一个实数根,于是有

　　　　　 　∵ ,　

∴ 实数a的取值范围是 . ……………………… 14分　　

20.已知为坐标原点, 点的坐标为 ，点是直线上一动点,

点为的中点，点满足，且.

(I)　　　　 求点的轨迹方程；　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(II)　　 设过点的直线 与点的轨迹交于A、B两点，

且.试问角能否等于 ？若能，求出相应的直线 的方程；若不能，请说明理由．

解：(I)设点, 由已知得点在的中垂线上,　 ----------1分

即, 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ------------------2分

根据抛物线的定义知,动点在以F为焦点,以直线m为准线的抛物线上，　　 ----4分

∴点的轨迹方程为 -----------------6分

(注：没有写出扣1分)

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，点坐标为，点坐标为，

点坐标为，可以推出∠AFB.

　　　　　　　　　　　　　　 -------------------8分

当直线l的斜率存在时，

设l的方程为 y = k(x – 2)，它与抛物线 y ² = 4x 的交点坐标分别为 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂).

由　 得　 　.

得, ．-------------------10分

假定 = p，则有 cos = －，

如图，即 = －　(*)　　　

由定义得 | AF | = x₁ + 1，| BF | = x₂ + 1．

从而有 | AF | ² + | BF | ²－| AB | ²

= (x₁ + 1) ² + (x₂ + 1) ²－(x₁－x₂) ²－(y₁－y₂) ²

= －2 (x₁ + x₂)－6　 .　

　| AF |·| BF | = (x₁ + 1) (x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 = x₁ + x₂ + 5 ，　　　 -------------------12分

将上式代入 (*) 得 = －，即 x₁ + x₂ + 1 = 0．

这与 x₁ > 0 且 x₂ > 0 相矛盾.

综上， 角不能等于 .　　　 -------------------14分

19.三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点.

(Ⅰ)证明平面GFE∥平面PCB；

(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小；

(Ⅲ)求直线PF与平面PAB所成角的大小.

(Ⅰ)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，

所以EF∥BC，GF∥CP. 　　　　…………………………………………………1分

因为EF、GF平面PCB，

　　 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.

　又EF∩GF= F，

所以平面GFE∥平面PCB. 　　　　　　　　　…………………………………3分

(Ⅱ)解：过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H.

连结HB.

因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，

所以BC⊥平面PAC.

所以HB⊥PA.

所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角. ………6分

依条件容易求出CH=.

所以tan∠BHC==.

所以∠BHC=arctan.

所以二面角B-AP-C的大小是arctan.　　　 …………………………………8分

(Ⅲ)解法1：如图，设PB的中点为K，

连结KC，AK，

因为△PCB为等腰直角三角形，

所以KC⊥PB.

又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，

所以AC⊥平面PCB.

所以AK⊥PB.

因为AK∩KC=K，

所以PB⊥平面AKC.

又PB平面PAB，

所以平面AKC⊥平面PAB.

在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M.

因为平面AKC⊥平面PAB，

所以FM⊥平面PAB.

连结PM，

所以∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角. 　　　……………………………11分

容易求出PF=，FM=.

所以sin∠MPF==.

所以∠MPF=arcsin.

即直线PF与平面PAB所成的角的大小是arcsin.　　 ……………………13分

(Ⅲ)解法2：连结FB，

因为PC⊥BC，PC⊥AC，且BC∩AC=C，

所以PC⊥平面ABC.

　　 即PC是三棱锥P-ABF的高.

依条件知V_P-ABF=×PC×(×AF×BC)

=×1×(×1×1)=.

又V_F-PAB=×h×S_△PAB　 (其中h是点F到平面PAB的距离)

　　　　 =×h×(××)=×h×=h，

所以由=h解得h=.　　　　　　 …………………………………………11分

设PF与平面PAB所成的角为，

又PF=，

所以sin===.

所以=arcsin.

即直线AC与平面PAB所成角大小是arcsin. 　　　………………………13分

方法2：依条件建立如图所示空间直角坐标系C-xyz.

所以A(2，0，0)，B(0，1，0)， P(0，0，1)

　 (Ⅰ)略　　　　 …………………………………3分

　 (Ⅱ)解：显然=(0，1，0)是平面PAC的一

个法向量.

设n=(x，y，z)是平面PAB的一个法向量，

因为=(-2，0，1)，=(-2，1，0)，

所以由n·=0，n·=0解得n=(1，2，2). 　　　　…………………………6分

设二面角B-AP-C的大小为，

所以cos==.　

　　 所以二面角B-AP-C的大小为arccos. 　( arccos= arctan)　　 …………8分

(Ⅲ)解：设PF与平面PAB所成的角为，

由(Ⅱ)知平面PAB的一个法向量n=(1，2，2).

又=(-1，0， 1)，

所以cos(-)==.　　　　　　 …………………………………11分

所以sin=.

所以=arcsin.

即直线AC与平面PAB所成角的大小是arcsin. ……………………………13分

18．每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6).

(I)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；

(II)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；

(III)连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率.

解：(I)设“连续抛掷2次，求向上的数不同”为事件A，则：

　　 P (A ) = 1－=；

(II)设“连续抛掷2次，求向上的数之和为6”的事件为B，则：

　　 P (B) ==；

(III)设“连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次”的事件为C，则：

　　 P (C) ==.

17.解关于的不等式．

分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．

解：分以下情况讨论

(1)当时，原不等式变为：，∴

(2)当时，原不等式变为：　①

①当时，①式变为，∴不等式的解为或．

②当时，①式变为．　②

∵，∴当时，，此时②的解为．当时，，解集为空集，当a>1时②的解为．

22.(本小题12分)已知数列中，，．

(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若数列中，，，证明：，．

附加题.(本题10分)

排球单循环赛, 南方球队比北方球队多9支,南方球队总得分是北方球队的9倍.求证冠军是一支南方球队(胜得1分 败得0分).

D B C D A C　 B D A C C A