22、(12分)设函数，其中．

(Ⅰ)当时，讨论函数的单调性；

(Ⅱ)若函数仅在处有极值，求的取值范围；

(Ⅲ)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

[解](Ⅰ)：．

当时，

．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

(Ⅱ)，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须恒成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

(Ⅲ)由条件可知，从而恒成立．当时，；

当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当　　 即

在上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．

21、(12分)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：

5，6，7，8，9，10．

把这6名学生的得分看成一个总体．

(Ⅰ)求该总体的平均数；

(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．

[解]：(Ⅰ)总体平均数为

．··················································································· 4分

(Ⅱ)设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．

从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．

事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．

所以所求的概率为

．　　　 12分

20、(12分)如图，在三棱锥中，

，，

，．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求二面角的大小．

解法一：

(Ⅰ)取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

(Ⅱ)，，

．

又，

．

又，即

，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

解法二：

(Ⅰ)，，．

又，．

，平面．

平面，．

(Ⅱ)如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．

，

，．取中点，连结．

，，，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．

19、(12分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：

(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率：

(Ⅱ)没有人签约的概率.

[解]：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=.

(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是1－P()

＝1－.

(Ⅱ)没有人签约的概率为

＝

＝

18、(12分)已知函数，且是奇函数．

(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)求函数的单调区间．

[解]：(Ⅰ)因为函数为奇函数，

所以，对任意的，，即．

又

所以．

所以

解得．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得．

所以．

当时，由得．

变化时，的变化情况如下表：

	+	0	_	0	+
		极大值		极小值

所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

当时，，所以函数在上单调递增．

17、(10分)设集合，是坐标平面上的点，、。

(1)可以表示多少个坐标平面上的不同的点？

(2)可以表示多少个第二象限内的点？

(3)可以表示多少个不在直线上的点？

[解]：(1)36　 (2)6　(3)30

16、过点和曲线相切的直线方程为_____　　　　　　　　　　 或.

15、已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ＝　3　．

14、点P的曲线y=x³-x+上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围．

13、若一个球的体积为，则它的表面积为　 ．