3． 已知α、β均为锐角，若P：sinα<sin(α+β)，q：α+β<，则P是q的(　 )

A．充分而不必要条件　　　　

B．必要不充分条件

C．充要条件　　　　　　　

D．既不充分也不必要条件

2． 若，则2x与3sinx的大小关系是 　(　 )

A．　　 　　　 B．

C．　　 　　　 D．与x的取值有关

1． 已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于　　 (　 )

　 A．－　　　　　　　 B．　　　　　　

C．－或　　　　　 D．

4．含参数函数的最值，解题要注意参数的作用．

三角函数章节测试题

3．求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性．

2．三角函数的最值都是在给定区间上取得的．因而特别要注意题设所给出的区间．

1．求三角函数最值的方法有：① 配方法；②化为一个角的三角函数；③ 数形结合；④ 换元法；⑤ 基本不等式法．

3．二分法求方程的近似解

二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同(且都符合精确度要求)，即可得

例1. 求下列函数的最值．

⑴ y＝；

⑵ y＝2 cos(+x)+2cosx；

⑶ ．

解：(1)　 y＝

＝

∴ 当cosx＝时，y_min=

∵ cosx≠1

∴ 函数y没有最大值。

(2) y＝2cos()+2cosx

=2cos

=3cosx－sinx

=2cos()

∴当cos()＝－1时，y_min＝－

当cos()＝1时，y_max＝

(3) 由得sinx－ycosx＝3y－1

∴＝3y－1　 (tan＝－y)

∵|sin(x+)|≤1　 ∴|3y－1|≤

解得0≤y≤　 故的值域为[0，]

注：此题也可用其几何意义在求值域．

变式训练1：求下列函数的值域：

(1)y=;

(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;

(3)y=2cos+2cosx.

解　 (1)y==

=2cos²x+2cosx=2-.

于是当且仅当cosx=1时取得y_max=4,但cosx≠1,

∴y＜4，且y_min=-,当且仅当cosx=-时取得.

故函数值域为.

(2)令t=sinx+cosx,则有t²=1+2sinxcosx,

即sinxcosx=.

有y=f(t)=t+=.

又t=sinx+cosx=sin，

∴-≤t≤.

故y=f(t)= (-≤t≤),

从而知：f(-1)≤y≤f(),即-1≤y≤+.

即函数的值域为.

(3)y=2cos+2cosx

=2coscosx-2sinsinx+2cosx

=3cosx-sinx

=2

=2cos.

∵≤1

∴该函数值域为［-2，2］.

例2. 试求函数y＝sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值与最小值，又若呢？

解： 令t＝sinx+cosx　 则t∈[－，]

又2sinx+cosx＝(sinx+cosx)²－1＝t²－1

∴y＝t²+t+1＝(t+)²+，显然y_max＝3+

若x∈[0，]　 则t∈[1，]

y＝(t+)+在[1，]单调递增．

当t＝1即x＝0或x＝时，y取最小值3．

当t＝即x＝时，y取最大值3+．

变式训练2：求函数的最大值和最小值．

点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单．

解：f(x)＝x－(sin2x+cos2x)－

∴f´(x)＝1+sin(2x－)

∵x∈[－，]　 ∴2x－∈[－，]

令f´(x)＝0 得sin(2x－)＝－

∴x＝0，－，

∵f(0)＝－1，而f(－)＝－　 f()＝

∴当x＝时，[f(x)]_max＝

当x＝0时，[f(x)]_min＝－1

例3. 已知sinx+siny＝，求siny－cos²x的最大值．

解：∵sinx+siny＝　 ∴siny＝

∴siny－cos²x＝－(1－sin²x)

＝

＝

又∵－1≤siny≤1　

∴　 而－1≤sinx≤1

∴≤sinx≤1

∴当sinx＝时，siny－cos²x取得最大值。

变式训练3：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b²＝ac，求y＝的取值范围．

解：y＝

又cosB＝≥

∴ 0＜B≤　　 ∴＜B+≤

∴ 1＜sin(B+)≤

即1＜y≤

例4．设a≥0，若y＝cos²x－asinx+b的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并求出使y取得最大、最小值时的x值．

解：原函数变形为

y＝－

∵－1≤sinx≤1，a≥0

∴若0≤a≤2，当sinx＝－时

y_max＝1+b+＝0　　 ①

当sinx＝1时，y_min＝－

＝－a+b＝－4　　　　 ②

联立①②式解得a＝2，b＝-2

y取得最大、小值时的x值分别为：

x＝2kπ－(k∈Z)，x＝2kπ+(k∈Z)

若a＞2时，∈(1，+∞)

∴y_max＝－＝0　 ③

y_min＝－　 ④

由③④得a＝2时，而＝1　 (1，+∞)舍去.

故只有一组解a＝2，b＝－2.

变式训练4：设函数(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．

(1)求ω的值；

(2)如果在区间的最小值为，求a的值．

解：(1) f(x)＝cosx+sin2x++a

＝sin(2x+)++a

依题意得2·+＝解得＝

(2) 由(1)知f(x)＝sin(2x+)++a

又当x∈时，x+∈

故－≤sin(x+)≤1

从而f(x)在上取得最小值－++a

2．函数与方程

　　 两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．

1．一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数与一元二次方程(以后还将学习一元二次不等式)的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．