11.

　解:令 ,则 , , ,

　  .于是有 .

　由 得 ,由于 ,

　　 .

　又 , 的值域是 ,

　 的反函数是 .

　说明:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.

10.

　解：由 知点 在图象上,则点 定在 的图象上,

　于是 　　　　 (1)

　又 过点 ,则点 也在 的图象上,

　于是 　　 (2)

　由(1)得 或 ,当 时,代入(2),此时(2)恒成立即 ;

　当 代入(2)解得 .

　综上, 的所有取值可能有 或 .

　说明:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.另外此题在最后作答时,要求写出 的所有取值可能即要把 的取值与 的取值搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点.

9.　

　解: 令 ,解此方程得 ,再考虑到 ,故 .

　说明:此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系,还能从符号角度认识它们之间的关系,也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法.(此法对于求反函数比较复杂的题目尤为适用)

8.　

　解: (1)由 得 ,又 得值域是 .

　　　 .

　(2)由 变形得 .

　又 得值域是 ,

　(3)由 得 ; 由 得 .

　　又 ( 的值域是 ,而 的值域是 ,

　 .

　说明:在求解方程时,一定要注意题目中对 的限制条件的使用,分段函数存在反函数时,也应分段求解它的反函数,一般情况下,它的反函数仍然是个分段函数.

7.

　解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当 时, 和 ,且 .

　对于(4) 时, 和 .对于(5)当 时, 和 .

　故(3),(4),(5)均不存在反函数.

　说明:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.

6.　

　证明：设 是 上的任意两个实数,且 ,

　则

 是 上的增函数, 是 上的减函数,且 .

 , 即 , .

　又 的值域为 , 的值域为 ,

 .

 即

 在 上为减函数.

　说明：此题涉及抽象函数的有关证明,要求较高,此外在 的变形中涉及到增减项的技巧,它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值,必须构造出 与 的差和 与 的差.

5.　

　解:在 中,由 得 ,由 得 ,得 ,

　 .

　说明:由奇函数的定义得到 的制约条件时,应利用一般与特殊的思想让 取某两个特殊值即可.这个想法是建立在对奇函数定义中恒等关系的理解.

4.　

　解: 为奇函数.下面给出证明.当 时,

 ;

　当 时,

　综上 为奇函数.

　说明:根据定义进行证明时,必须分别证明 和 时均有 成立,二者缺一不可.

3.

　解: (1) . 是奇函数.

　(2) . 是偶函数.

　(3)由于定义域 不关于原点对称,故 既不是奇函数也不是偶函数.

　(1) 的定义域为 且 ,是关于原点对称的,且有 和 同时成立, 故 既是奇函数又是偶函数.

2.　

　解:当 时,函数此时为 ,是常数函数,在 上不具备增减性.

　当 时, 为一次函数,若在 上是减函数,则有 ,解得 .故所求 的取值集合为 .

　说明:此题虽比较简单,但渗透了对分类讨论的认识与使用.