8.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的序号

是　　　　　　　 　　

[②③]

①；②；③；④

7.已知，，，…，　 根据这些结果，猜想出的一般结论是　　　　　　　　

[]

6. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为6cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的体积为　　 　　　　　cm　

[]

5. 已知, ，则　 　__　　 　　

[]

4. 直线与垂直的充要条件是　　 _____　　 　

[]

3. 函数的最小正周期是　　　　　　 　　

[]

2.“”是“”的　　 　　　　　　　条件

[充分不必要]

1. 已知复数z满足＝3，则复数z的虚部为____________

[]

20．(本小题满分14分)

设且 (e为自然对数的底数)

(1)　 求 与 　的关系；

(2)　 若 　在其定义域内为单调函数，求 的取值范围；

(3)　 设 ，若在 [1,e] 上至少存在一点，使得 　成立, 求实数 的取值范围.

解：(1) 由题意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2　 ………… 1分

　Þ (p－q) (e + ) = 0　 ………… 2分　 而 e + ≠0　 ∴　　　 p = q　　 ………… 3分

(2)　 由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x

　f’(x) = p + －= ………… 4分

令 h(x) = px ²－2x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分

① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f’(x) = －　< 0，

∴　 f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意. 　 ………… 6分

② 当 p > 0时，h(x) = px ²－2x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = ∈(0,+¥)，∴　 h(x)_min = p－

只需 p－≥1，即 p≥1 时 h(x)≥0，f’(x)≥0

∴　 f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递增，

故 p≥1适合题意. 　　 ………… 7分

③ 当 p < 0时，h(x) = px ²－2x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = Ï (0,+¥)

只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0,+¥) 恒成立.

故 p < 0适合题意. 　 ………… 8分

综上可得，p≥1或 p≤0　　 ………… 9分

另解：(2)　　 由 (1) 知 f (x) = px－－2ln x

　f’(x) = p + －= p (1 + )－　 ………… 4分

要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立. 　　　 ………… 5分

由 f’(x)≥0 Û p (1 + )－≥0 Û p≥　Û p≥()_max，x > 0

∵　 ≤ = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()_max = 1

∴　 p≥1 ………… 7分

由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤ 　Û p≤()_min，x > 0

而 > 0 且 x → 0 时，→ 0，故 p≤0　　 ………… 8分

综上可得，p≥1或 p≤0　　 ………… 9分

(3)　 ∵　 g(x) = 在 [1,e] 上是减函数

∴　 x = e 时，g(x)_min = 2，x = 1 时，g(x)_max = 2e

即　 g(x) Î [2,2e] 　 ………… 10分

① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)_max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 …… 11分

② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－≥0

∴　 f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增

∴　 f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。　　 ………… 12分

③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数

∴　 本命题 Û f (x)_max > g(x)_min = 2，x Î [1,e]

　Þ f (x)_max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2

　Þ p > 　 ………… 13分

综上，p 的取值范围是 (,+¥)　 ………… 14分

19．(本小题满分14分)

已知函数

(1) 若在上单调递增，求的取值范围；

(2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.

试证当时，为“凹函数”.　　

解(1)由，得 ……………………2分

函数为上单调函数. 若函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.　 ………………4分

令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. …………………………6分

(2)证明：由 得

　 ………………………7分

　 ……………………8分

　 而　 ①　 ………………10分

　　 又，　 ∴　 ② ………11分

∵　 ∴，

∵　 ∴　 ③　 ……………………………13分

由①、②、③得

即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14分