21.(本小题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

已知正数、、满足，

(1) 求证：；

(2) 求的最大值。

解：(1)

。　　　 　　　　　　　3分

∵且不能同时成立，　　　　　　　 5分

∴。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)∵

　 　　　　　　　　　　　　　　　　10分

当且仅当时，等号取得，　　　　　　　 12分

∴当且仅当时，的最大值为。　　 14分

[说明]如学生先解出(2)再证明(1)正确，也算对。

20.(本小题满分12分，第1小题7分，第2小题5分)

甲、乙两商场同时促销原售价为元的某种型号的彩电，甲商场一律按销售价的折促销，即按原价的销售；乙商场按如下方式促销，买一台优惠，买两台优惠，买三台优惠，以此类推，即每多买一台，每台再优惠个百分点，但每台最低价不能低于元，某公司需购买这种型号的彩电台()，若到甲商场购买的费用为元，到乙商场购买的费用为元。

(1) 分别求出函数、的关系式；

(2) 问去哪家商场购买花费较少？并说明理由。

解：(1) 到甲商场购买，易得　 ，　　　　 3分

到乙商场购买，按每多买一台每台多优惠个百分点计，买台的费用为，但每台最低价不会低于元，即，

∴　　　　　　　　 。　　　　　　　 7分

　 　(2) ∵，当且仅当时，等号成立。　　 10分

∴当时，去甲商场；当时，甲乙都可；当时，去乙商场。　　　 12分

19.(本小题满分12分)

命题：“函数在区间上递增”；命题：“ 　在区间上递增”。若命题与命题有且仅有一个真，求实数的集合。

解：当时，在区间上递增，　　　　 　　　　2分

当时，，。

即当时，真；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

当时，在区间上递增，　　　　　　　　　　　　　　 7分

当时，，。

即当时，真；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

满足题意的的集合为。　　　　 12分

(或。)

18. 对于函数和实数、，下列结论中正确的是　　　　　　 ( 　)

　若，则　　　　　 　若，则；

　若，则；　　　　 　上述命题都不正确。

解：是定义在上的偶函数，当时，，且↗，

且↗，所以在上递增，在上递减。

∴。

17. 若不等式在上恒成立，则的取值范围　　　　　　　　　 ( 　)

　一切实数　　　　 　 　　　　 　　　　　　 　　　　 　　

解：构造函数，则函数的值域为。

16. 已知函数是偶函数，其定义域为，则点的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　( 　)

　　 　线段　 　　　　　直线的一部分　 　　点　 　　　　　圆锥曲线

解：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴，

点的轨迹为。

15. 命题“对任意的，都有”的否定是　　　　　　　　　　　 ( 　)

　不存在，使得　　 　存在，使得

　存在，使得　　　 　对任意的，都有

14．请把下列命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数=(填上你认为可以成为真命题的一种情况即可，两个空位都填对，方能得分)。

以下两个答案供参考：① 直线；=；

② 直线；=。

13．已知函数，给出下列四个命题：①为奇函数的充要条件是；②的图象关于点对称；③当时，方程的解集一定非空；④方程的解的个数一定不超过两个。其中所有正确命题的序号是　 ①，②，③　　 。

解：。

由图像易得①、②正确；当时，，总有解，③正确；

当，时，的解集为，④错。

12. 建造一个容积为, 深为的长方形无盖水池，如果池底和池壁每的造价分别为元和元，那么水池的最低造价为元。

解：设水池的长与宽分别为，(单位：)，总造价为，

则有

，

当且仅当时，总造价有最小值为。