∴………………………………5分

(2) (一)时，．

∵，∴，∴．

①，当时，．

②，当时，．……………7分

21. 解析：(Ⅰ)由得函数的定义域为，

。　　　　　　　　 ………………………………　 2分

由得；由得，

∴函数的递增区间是；递减区间是。………………………………　 4分

(Ⅱ)由(1)知,在上递减,在上递增。　 ∴　

又∵，，且,

∴时,。　　　　　　 ………………………………　 6分

∵不等式恒成立, ∴，

即

∵是整数，∴。　　　　　　　

∴存在整数，使不等式恒成立。　 ……………………　 9分

(Ⅲ)由得，

令,则，

由得；由得。　

∴在上单调递减,在上单调递增.　　　 ………………………………　 11分

∵方程在上恰有两个相异的实根,

∴函数在和上各有一个零点,　　　　　　

∴，

∴实数的取值范围是　　　 …………………………　 14分

21. (本小题满分14分)设函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时,是否存在整数，使不等式恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。

(Ⅲ)关于的方程在上恰有两个相异实根,求实数的取值范围。

20. 解析：(Ⅰ)　 ∵ 　　　　　　　　　①

∴时, 　　　　　②　　　　　　　

　 ①─②得： ……2分

　 由及得　

_∴是首项为，公比为2的等比数列，∴　　　　　　 ………………　 4分

(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知 　　　　　　　　　　　　　………………　 5分

若为等差数列，

则则成等差数列, 　…………………………… 6分

_∴，∴　　 …………　 8分

当时，，显然成等差数列，

∴存在实数，使得数列成等差数列。　 ………………　 9分

解法二：由(Ⅰ)知 　　　　　　　　　　………………　 5分

∴　 ……………　 7分

要使数列成等差数列，则只须，即即可。……………8分

故存在实数，使得数列成等差数列。　　 　　………………　 9分

(Ⅲ)∵　　　 ………………　 10分

∴

　 　　　　　　　　　　…………………………………………　 12分

　　　 ∵， ∴，

∴ …14分

20. (本小题满分14分)设数列的前项和为，且，。

(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。

(Ⅲ)求证：。

19. 解析：(I)由题意得，

∴

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆.………………… 3分

设椭圆方程为 ，

则，

∴点的轨迹方程为 …………………………4分

曲线化为，

则曲线是圆心在，半径为1的圆。

而轨迹E：为焦点在Y轴上的椭圆，短轴上的顶点为 ………6分

结合它们的图像知：若曲线被轨迹E包围着，则

∴的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　 …………………8分

(II))设，由得：

，

化简得，即　　　　　 …………………………10分

　　 而

∵点在圆内，∴

∴，　　 ………………………12分

∴，∴的取值范围为．……………14分

19. (本小题满分14分)已知定点A(0,－1)，点B在圆上运动，为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P．

(I)求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值。

　 (II)已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围．

21. 解：(Ⅰ)，.∴直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为.　 ∴直线的方程为. 又∵直线与函数的图象相切,

∴方程组有一解.　 由上述方程消去，并整理得

　　　　 ①

依题意，方程①有两个相等的实数根，

解之，得或　.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，

　. 　.

∴当时，，当时，.

∴当时，取最大值，其最大值为2.

(Ⅲ) .

， 　， .

由(Ⅱ)知当时， ∴当时，，

.　　　 ∴

20. 解：(1)因为，　

　　　 所以满足条件

　　　 又因为当时，，所以方程有实数根0.

　　　 所以函数是集合M中的元素.

　　 (2)假设方程存在两个实数根)，

　　　 则，

　　 不妨设，根据题意存在数

　　　 使得等式成立

　　　 因为，所以

　　　 与已知矛盾，所以方程只有一个实数根.

21(本小题共14分)

已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.

(Ⅰ)求直线的方程及的值；

(Ⅱ)若(其中是的导函数)，求函数的最大值；

(Ⅲ)当时，求证：

22. 解:(1)令 解得 由 解得

∴函数的反函数

则错误！不能通过编辑域代码创建对象。 得

是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………4分

(2)

在点处的切线方程为

令得

仅当时取得最小值，　 ∴的取值范围为………8分

(3)　

所以 又因 则

显然…………………………10分

　　 …………………………12分

.……………14分

20(本小题共14分)

设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

(1)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2)集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

试用这一性质证明：方程只有一个实数根.