22．(14分)已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；

(Ⅲ)对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围。

21．(12分)

解：(Ⅰ)设抛物线方程为，将代入方程得

………………………………………………(1分)

由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………(2分)

对于椭圆，

………………………………(4分)

对于双曲线，

………………………………(6分)

(Ⅱ)设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为

令………………………………………………(7分)

…………(12分)

21．(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。

(Ⅰ)求这三条曲线的方程；

(Ⅱ)已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

22. 解:(1)令 解得 由 解得

∴函数的反函数

则得

是以2为首项，1为公差的等差数列，故…………4分

(2)

在点处的切线方程为

令得

仅当时取得最小值，　 ∴的取值范围为………8分

(3)　

所以 又因 则

显然…………………………10分

　　 …………………………12分

.……………14分

22．(本小题满分12分)

函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为.

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若数列的项中仅最小,求的取值范围；

(3)令函数,.数列满足:,且，(其中).证明:.

21. (1)以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系

　　　 若，即，动点所在的曲线不存在；

若，即，动点所在的曲线方程为；

　　　 若，即，动点所在的曲线方程为.

　…………………………4分

(2)当时，其曲线方程为椭圆

　　 由条件知两点均在椭圆上，且

设，，的斜率为，则的方程为，的方程为　 解方程组得，

　 同理可求得，　 　　　　　　　　　　　　　　　　

　 面积=　　 ………………8分

令则

令　 所以，即　　

当时，可求得,故，　 故的最小值为，最大值为1. ……12分

(2)另解：令，则

解得

所以，而

因此，即最大值是1，最小值是.

21．(本小题满分12分)

已知线段，的中点为，动点满足(为正常数)．

(1)建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；

(2)若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．　　

20. (1)解：∵，∴．

令，得．

①若，则，在区间上单调递增.

②若，当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

③若，则，函数在区间上单调递减. ……6分

(2)解：∵，，

由(1)可知，当时，．

此时在区间上的最小值为，即．

当，，，∴．

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．

而，即方程无实数解．

故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直……12分

20．(本小题满分12分)

已知，函数，(其中为自然对数的底数)．

(1)判断函数在区间上的单调性；

(2)是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

，

等号成立 ．

∴时，．…………………………………………10分

A．时，∵，

∴时．当，，

时，当，．……………………………12分

B．时，．

当时，．……………………………………………14分

综上，时，当时，，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．时，当时，， 即与之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．………………………16分

20．(本小题满分16分)

设函数f(x)＝x⁴+bx²+cx+d，当x＝t₁时，f(x)有极小值．

(1)若b＝－6时，函数f(x)有极大值，求实数c的取值范围；

(2)在(1)的条件下，若存在实数c，使函数f(x)在闭区间［m－2，m+2］上单调递增，求实数m的取值范围；

(3)若函数f(x)只有一个极值点，且存在t₂∈(t₁，t₁+1)，使f ′(t₂)＝0，证明：函数g(x)＝f(x)－x²+t₁x在区间(t₁，t₂)内最多有一个零点．

20解：(1)因为 f(x)＝x⁴+bx²+cx+d，所以h(x)＝f ′(x)＝x³－12x+c．……2分

由题设，方程h(x)＝0有三个互异的实根．

考察函数h(x)＝x³－12x+c，则h ′(x)＝0，得x＝±2．

所以 故－16<c<16．　 ………………………………………………5分

(2)存在c∈(－16，16)，使f ′(x)≥0，即x³－12x≥－c，　　 (*)

所以x³－12x>－16，

即(x－2)²(x+4)>0(*)在区间［m－2，m+2］上恒成立． …………7分

所以［m－2，m+2］是不等式(*)解集的子集．

所以或m－2>2，即－2<m<0，或m>4．　 ………………………9分

(3)由题设，可得存在α，β∈R，使

f ′(x)＝x³+2bx+c＝(x－t₁)(x²+αx+β)，

且x²+αx+β≥0恒成立． …………………………………………………11分

又f´(t₂)＝0，且在x＝t₂两侧同号，

所以f´(x) ＝(x－t₁)(x－t₂)²． …………………………………………13分

另一方面，

g ′(x)＝x³+(2b－1)x+t₁+c

＝x³+2bx+c－(x－t₁)＝(x－t₁)［(x－t₂)²－1］．

因为 t₁ < x < t₂，且 t₂－t₁<1，所以－1< t₁－t₂ < x－t₂ <0．

所以 0<(x－t₂)²<1，所以(x－t₂)²－1<0．

而 x－t₁>0，所以g ′(x)<0，所以g(x)在(t₁，t₂)内单调减．

从而g(x)在(t₁，t₂)内最多有一个零点．…………………………………16分