22．(14分)已知数列的前项和满足。

　　　 (1)写出数列的前三项；

　　　 (2)求数列的通项公式；

　　　 (3)证明：对任意的整数，有。

21．(12分)已知、分别是椭圆的左、右焦点。

　　　 (I)若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；

　　　 (II)设过定点M(0，2)的直线与椭圆交于同的两点A、B，且为锐角(其中O伟坐标原点)，求直线的斜率的取值范围。高☆考♂资♀源?网　　 ☆

20．(12分)已知

　　　 (I)若，求的单调区间和极值；

　　　 (II)已知是的两个不同的极值点，且，若

　　　 恒成立，求实数b的取值范围。

22．(本小题满分14分)

(文科)在数列

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若m为正整数，当

解：(I)由变形得：

故数列是以为首项，1为公差的等差数列　　　　　　 (5分)

　 (II)(法一)由(I)得

(7分)

令

当

又

则为递减数列。

当m=n时，

递减数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

要证：时，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(法二)由(I)得

　　 (7分)

令

上单调递减。(9分)

也即证，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(理科)已知数列中，，当时，其前项和满足，

(1)　　　 求的表达式及的值；

(2)　　　 求数列的通项公式；

(3)　　　 设，求证：当且时，。

解：(1)

所以是等差数列。则。。

(2)当时，，综上，。

(3)令，当时，有　　　　 (1)

法1：等价于求证。

当时，令

，则在递增。

又，所以即。

法(2)

　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　　　　 (3)

因

所以

由(1)(3)(4)知。

法3：令，则

所以

因则　　

所以　　 (5)　　 由(1)(2)(5)知

21．(本小题满分12分)

(文科)已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解。

当时，，解得。

因此，原不等式的解集为。

(Ⅲ)

①　　

②

ⅰ)

ⅱ)　　　

(理科)设函数在上是增函数。

(1)　　　 求正实数的取值范围；

(2)　　　 设，求证：

解：(1)对恒成立，

对恒成立　　 又　 为所求。…………5分

(2)取，，

一方面，由(1)知在上是增函数，

即……………………………………8分

另一方面，设函数　

∴在上是增函数且在处连续，又

∴当时，

∴　　　 即

综上所述，………………………………………………12分

20．(本小题满分12分)

已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.

(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程；

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时，求直线的方程

(Ⅲ)设直线分别交抛物线于B，C两点(均不与A重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.

解：(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线上， 所以　 ，即. ………….2分

　　 故所求抛物线的方程为，其准线方程为. 　 ……………….3分

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为　 …6分

(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为，　 ………………8分

　 由　　　 得,……….10分

　易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，

　所以点B的坐标为,

同理可得C点坐标为,　 ……………….11分

所以

,　 　　　　　　　 　　　……………….9分

线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，

所以　 ,由于，　 解得　 .　 …………….10分

此时，点B的坐标为，点C的坐标为，

　直线BC的斜率为，

所以，BC的方程为，即.　 …….12分

22. (14分)△ABC中，|AB|=|AC|=1，，P₁为AB边上的一点，，从P₁向BC作垂线，垂足是Q₁；从Q₁向CA作垂线，垂足是R₁；从R₁向AB作垂线，垂足是P₂，再由P₂开始重复上述作法，依次得Q₂，R₂，P₃；Q₃，R₃，P₄……

　　 (1)令BP_n为x_n，寻求BP_n与(即)之间的关系。

　　 (2)点列是否一定趋向于某一个定点P₀？说明理由；

　　 (3)若，则是否存在正整数m，使点P₀与P_m之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。

解：(1)由|AB|=|AC|=1，

　　 从而△ABC为边长为1的正三角形　 2分

　　 则，于是

　　 ∴　 3分

　　 同样　

　　 　4分

　　 又

　　 即　 5分

　　 (2)由(1)可得：

　　 ∴的等比数列

　　 ∴　 7分

　　 当

　　 ∴点P_n趋向点P₀，其中P₀在AB上，且BP₀　 9分

　　 (3)　 11分

　　 由

　　 当

　　 ∴的最小值为4　 14分

21. (12分)已知定点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足

　　 (1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。

(2)当

解：(1)设p(x，y)

　　 则

　　 由得

　　 　3分

　　 整理得(*)　 4分

　　 当k=1时，*式化为x=1表示直线　 5分

　　 当k≠1时，*式化为

　　 表示心为半径的圆　 6分

　　 (2)当k=2时，*式化为

　　 此时，

　　 ∴其最小值为2，最大值为6　 12分

21．(本小题满分12分)

已知函数

　 (Ⅰ)设处取到极值，其中

　 (Ⅱ)设求证：线段AB的中点C在曲线y=f(x)上；

　 (Ⅲ)若，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.

解：(Ⅰ)以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，

作CD⊥AB于D， 由题知：　 ①

而　 ②

由①②　 ………………2分

同理，　 ∴A(－1，0)、B(1，0)……4分

设双曲线方程

由 …………6分

因为E、C两点在双曲线上，所以　 ………………8分

解得，∴双曲线方程为　 …………10分

(Ⅱ)设

∵

∴ ①

又M、N在双曲线上，满足 ②

将②代入①，

∵　 …………………………12分

又

∴取值范围为()　 ………………14分

20．(本小题满分12分)

数列，设S_n是数列的前n项和，并且满足

　 (Ⅰ)令是等比数列，并求{b_n}的通项公式；

　 (Ⅱ)令

解：(Ⅰ)

依题意知，s、t是二次方程的两个实根.

∵……2分

∴在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个实根.

∵　 …………4分

(Ⅱ)由s、t是的两个实根，知

∴…6分

∵

故AB的中点C()在曲线y=f(x)上. ……8分

(Ⅲ)过曲线上点的切线方程为

∵，又切线过原点.

∴　

解得=0，或

当=0时，切线的斜率为ab；当时，切线的斜率为……10分

∵　 ∴两斜率之积

故两切线不垂直.　 ………………12分