23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为( 为参数)．

(Ⅰ)求直线的直角坐标方程；

(Ⅱ)设直线与曲线交于，四两点，原点为，求的面积．

22．(本题满分10分)

(Ⅰ) 证明：

∽

∴,即　　　　　　　　　 ……………………4分

(Ⅱ)由射影定理知

　　　 又由三角形相似可知，且

　　　 ∴，结合射影定理

　　　 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………分

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

已知中，，，

垂足为，，垂足为，，

垂足为．

求证：(Ⅰ)；

(Ⅱ)

21. (本题满分12分)

(Ⅰ)由在抛物线上可得，，抛物线方程为………1分

设抛物线的切线方程为：

联立，，由，可得

　可知　　　　　　　　　

可知　　　　　　　　　　　　 ……………………3分

易求直线方程为　　　　　　　　　 ………………………4分

弦长为　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……………………5分

(Ⅱ)设，三个点都在抛物线上，故有

　　　 ，作差整理得

　　　 ，　　　　　　

所以直线：，直线：

…………………6分

因为均是抛物线的切线，故与抛物线方程联立，，可得：

　 ，　　　

　 两式相减整理得：，即可知

……………………8分

所以直线：，与抛物线联立消去

　 得关于的一元二次方程：　　 ……………………10分

易知其判别式，因而直线与抛物线相切.故直线与抛物线相切. 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………………12分

21．(本小题满分12分)

已知点是抛物线：()上异于坐标原点的点，过点与抛物线：相切的两条直线分别交抛物线于点A，B．

(Ⅰ)若点的坐标为，求直线的方程及弦的长；

(Ⅱ)判断直线与抛物线的位置关系，并说明理由．

20.(本题满分12分)

(Ⅰ)设交于点，则有

　　　 ，即　　 (1)

　　 又由题意知，即　 (2)　　　　 　　……2分

　　 由(2)解得　

　　 将代入(1)整理得　 …………………………4分

　　 令，则

　　 时，递增，时递减，所以

　　　 即，的最大值为　　　　　　　 ……………………………………6分

(Ⅱ)不妨设，变形得

　　　 令，，，

　 在内单调增，，同理可证命题成立　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

20．(本小题满分12分)

　　 已知定义在正实数集上的函数，，其中．

(Ⅰ)设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，用表示，并求的最大值；

(Ⅱ)设，证明：若，则对任意，， 有．

22．解：(1)由题意，

所以，抛物线D的标准方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………3分

　 (2)设

由

抛物线D在点A处的切线方程为…………4分

而A点处的切线过点

即

同理，

可见，点A，B在直线上．

令

所以，直线AB过定点Q(1，1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

　 (3)设

　 直线PQ的方程为

由

得

由韦达定理，　　　　　　　 …………9分

而

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

将代入方程(*)的左边，得

(*)的左边

=0．

因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………14分

22．(本题满分14分)

抛物线D以双曲线的焦点为焦点．

　 (1)求抛物线D的标准方程；

　 (2)过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；

　 (3)在(2)的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

21．(1)

若使存在单调递减区间，则上有解．……1分

而当

问题转化为上有解，故a大于函数上的最小值．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………3分

又上的最小值为-1，所以a>1．……4分

　 (2)令

函数的交点个数即为函数的零点的个数．……5分

令解得

随着x的变化，的变化情况如下表：

	-	0	+
	单调递减	极(最)小值2+lna	单调递增

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………7分

①当恒大于0，函数无零点．……8分

②当由上表，函数有且仅有一个零点．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

③显然

内单调递减，

所以内有且仅有一个零点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

当

由指数函数与幂函数增长速度的快慢，知存在

使得

从而

因而

又内单调递增，上的图象是连续不断的曲线，

所以内有且仅有一个零点．　　　　　　　　　　　　　 …………11分

因此，有且仅有两个零点．

综上，的图象无交点；当的图象有且仅有一个交点；的图像有且仅有两个交点．……12分