20．(本小题满分12分)

已知，函数，(其中为自然对数的底数)．

(1)判断函数在区间上的单调性；

(2)是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21. [解析](1)令，解得，由，解得，

∴函数的反函数，则，得．

是以2为首项，l为公差的等差数列，故．　　　　　 ……3分

(2)∵，∴，

∴在点处的切线方程为，

令， 得，∴，

∵仅当时取得最小值，∴，解之，

∴的取值范围为．　　　　　　　　　　　　　　　　 　　……7分

(3)，．

则，

因，则，显然．

∴

∴

∵，∴，

∴，∴

∴． ……12分

21．(本小题满分12分)已知函数的反函数为，数列和满足：，，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为．

(1)求数列{}的通项公式；

(2)若数列的项仅最小，求的取值范围；

(3)令函数，，数列满足：，，且，其中．证明：．

20.解:(Ⅰ)因为，所以有

所以为直角三角形； …………………………2分

则有

所以，　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………3分

又，　　　　　 　………………………4分

在中有

即，解得

所求椭圆方程为　　　　　　　　　　　 …………………………6分

　(Ⅱ)

从而将求的最大值转化为求的最大值　　　　　　 …………………8分

是椭圆上的任一点，设，则有即

又，所以　　　　 ………………10分

而,所以当时，取最大值

故的最大值为　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

20．(本小题满分12分)已知均在椭圆上，直线、 分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.

19.解：(Ⅰ)已知函数，　 …………1分

又函数在处取得极值2，　　　　　…………2分

即　　　 　　　 　…………………4分

(Ⅱ)由，得，即

所以的单调增区间为(－1，1)　　　 …………………　 6分

因函数在(m，2m+1)上单调递增，

则有，　　　　　　　　　　　 …………7分

解得即时，函数在(m，2m+1)上为增函数　 ………8分

(Ⅲ)

直线l的斜率　　　　　　　　　 …………9分

　即　 令，　　 …………10分

则

　 即直线l的斜率k的取值范围是　 ……………12分

19．(本小题满分12分)已知函数，在处取得极值为．

(Ⅰ)求函数的解析式；

(Ⅱ)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；

(Ⅲ)若为图象上的任意一点，直线与的图象相切于点，求直线的斜率的取值范围．

19．(本小题满分12分)

某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①；②；③．(以上三式中、均为常数，且)

(I)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？

(II)若，，求出所选函数的解析式(注：函数定义域是．其中表示8月1日，表示9月1日，…，以此类推)；

(III)为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．

解：(I)根据题意，应选模拟函数　　　　　 2分

，　　　　 3分

若≥恒成立，即≥恒成立

解之得≤．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　10分

(III)由(II)得≥，即≤　　　　　　　　　　　 　11分

≤　　　　　　　 　12分

　　　　　　　　　 13分

所以，得　　　　　　　　　　　 9分

所以　　　　　　　　　　　　

所以直线的斜率为，　　　　　　　　　　 10分

则直线的方程可设为

由，得点的坐标为　　　　　　　 12分

所以≥

当且仅当即时取等号．　　　　　　　　　　　 14分

(20)(本小题满分12分)

　 　已知数列的前项和为且。

　　 (Ⅰ)求证数列是等比数列，并求；

　　 (Ⅱ)已知集合问是否存在实数，使得对于任意的都有?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

(20)解：(Ⅰ)当时， …………………………1分

时，由得

，变形得：………………………………………4分

故是以为首项，公比为的等比数列，………………………………6分

(Ⅱ)(1)当时，只有时

不适合题意　　　　　　　　　　 ……………………………………………………7分

(2)时，

即当时，不存在满足条件的实数………………………………………………………9分

(3)当时，

而

因此对任意的要使只需 解得………………………11分

综上得实数的范围是　　　　 ……………………………………………………12分

(21)(本小题满分12分)

　　 已知抛物线的方程是圆的方程是

直线是的公切

线，是的焦点．

　　 (Ⅰ)求与的值；

(Ⅱ)设是抛物线上的一动点，以为切点作的

切线交轴于点，若，则点在一定直线上，试证明之。

(21)解：(Ⅰ)由己知，圆的圆心为，半径

由题设圆心到直的距离

即解得(舍去)…………………………………………3分

设与抛物线相切的切点为又得

代入直线方程，得……………………6分

所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的方程为焦点

设，由(Ⅰ)知以为切点的切线方程为…………8分

令得点的坐标为

所以　 ……………………………………………10分

，因设

即点在定直线上　 ……………………………………………………12分

(22)(本小题满分14分)

　 　己知。

　 　(Ⅰ)若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；

　 　(Ⅱ)当时，证明函数只有一个零点；

　 　(Ⅲ)的图象与轴交于两点中点为，求证：。

(22)解：(Ⅰ)依题意：

在上递增，对恒成立

即对恒成立，只需　 ……………………………2分

　当且仅当时取，

的取值范围为　　　 ……………………………………………………………4分

(Ⅱ)当时，，其定义域是

……………………………………6分

时，当时，

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

当时，函数取得最大值，其值为

当时，即

函数只有一个零点　　　　 ……………………………………………………………9分

(Ⅲ)由已知得 　两式相减，得

　 …………11分

由及，得

…………………………………12分

令且

在上递减，

　　 ……………………………………………………………………14分

20.证明：

　 假设∴　 ………1分

∵，

∴＝

　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………………3分

是首项为2，公差为1的等差数列.　　　　　　 ………………………………4分

　 =,　　　 …………6分

　 =.　 …………8分

　，　　　 …………………………………9分

.　　 …………………………………13分

　　　　　　　　 .…………16

20. (本小题满分16分)数列中,,其前项的和为.求证：.