20. (本题满分16分)

已知函数(a为实常数).

(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；

(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；

(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

(1)当时，，当，，

故函数在上是增函数．…………………………………………………4分

(2)，当，．

若，在上非负(仅当，x=1时，)，故函数在上是增函数，此时．　………………………………………………6分

若，当时，；当时，，此时

是减函数； 当时，，此时是增函数．故

．

若，在上非正(仅当，x=e时，)，故函数在上是减函数，此时．……………………………………8分

综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，

的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，

相应的x值为．……………………………………………………………………10分

(3)不等式，　 可化为．

∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，

因而()………………………………………………12分

令()，又，…………………14分

当时，，，

从而(仅当x=1时取等号)，所以在上为增函数，

故的最小值为，所以a的取值范围是． ………………………16分

19. (本题满分16分)

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-, 直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且．

(1)求椭圆方程；

(2)若，求m的取值范围．

(1)设C：+＝1(a>b>0)，设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y²+＝1　　　 　　　　　　　5′

(2)由＝λ，

∴λ+1＝4，λ＝3　或O点与P点重合=　　　　　 　　7′

当O点与P点重合=时，m=0

当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。

设l与椭圆C交点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

得(k²+2)x²+2kmx+(m²－1)＝0

Δ＝(2km)²－4(k²+2)(m²－1)＝4(k²－2m²+2)>0 (*)

x₁+x₂＝， x₁x₂＝　　　　　　　　　　　　　 11′

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3(x₁+x₂)²+4x₁x₂＝0，∴3()²+4＝0

整理得4k²m²+2m²－k²－2＝0　　　　　　　　　　　　　 13′

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易验证k²>2m²－2成立，所以(*)成立

即所求m的取值范围为(－1，－)∪(，1)∪{0}　　 　　　　　　16′

18．(本题满分16分)

已知数列{ }、{ }满足：.

(1)求;　　　　　 　(2)求数列{ }的通项公式；

(3)设，求实数为何值时恒成立

解：(1)

　 ∵　　　 ∴　　　　　 　……………4分

　 (2)∵　 ∴

　∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列　　　 ……………6分

　∴　　　 ∴ ……………8分

　 (3)　　 　　　　　　　　　　　　　　

∴

　 ∴　　　 ……………10分

　由条件可知恒成立即可满足条件设

　a＝1时，恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立

　 a<l时，对称轴　　　　　　　　 ……………13分

　 f(n)在为单调递减函数．

　　 ∴　　 ∴a<1时恒成立　　　　　　　　 ……………15分

　　 综上知：a≤1时，恒成立　　　　　　　　　　　 ……………16分

17.(本题满分14分)

某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。

(1)按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；

②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；

(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短

[解析]本小题主要考查函数最值的应用．

(Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故

，又OP＝，

所以，

所求函数关系式为

②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=

所求函数关系式为

(Ⅱ)选择函数模型①，

令0 得sin ，因为，所以=，

当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。

16. (本题满分14分)

在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB，E为CC₁的中点．

求证：(1)AC₁∥平面BDE；(2)A₁E^平面BDE．

(1)证明：连接AC，设AC∩BD＝O．由条件得ABCD为正方形，

故O为AC中点．因为E为CC₁中点，所以OE∥AC₁．

因为OEÌ平面BDE，AC₁(/平面BDE．所以AC₁∥平面BDE．

(2)连接B₁E．设AB＝a，则在△BB₁E中，BE＝B₁E＝a，BB₁＝2a．所以BE²+B₁E²＝BB₁²．

所以B₁E^BE．由正四棱柱得，A₁B₁^平面BB₁C₁C，所以A₁B₁^BE．

所以BE^平面A₁B₁E．所以A₁E^BE．同理A₁E^DE．所以A₁E^平面BDE．

15. (本题满分14分)

已知向量设函数

(I)求的最小正周期与单调递减区间；

(II)在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.

解：(I)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………4分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分

　　　　　　　 …………7分

　 (II)由得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………14分

14. 对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数”。在实数轴R(箭头向右)上[]是在点左侧的第一个整数点，当是整数时[]就是。这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么=　 　　　　　．

[答案]857

13. 设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是　　　　　 　　　　　

[答案](－∞，1)

12. 已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是____　 ___．

[答案]

11. 已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是　　　　　　 .

[答案]2