14、某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)，选3人参加学校的义务劳动。

(1)设所选3人中女生人数ξ，求ξ的分布列及数学期望；

(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；

(3)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率。

解：(1) ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得：

　　　　　　 P(ξ=0)= =，P(ξ=1)= =，P(ξ=2)= =。

∴ ξ的分布列为

∴Eξ=0×+1×+2×=1。

(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C，则P(C)= =，

∴所求概率为P()=1-P(C)= 。

(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则

　 　P(A)= =，P(AB)= =，

∴在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为P(B|A)= =。

13、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，

侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点。

(1)证明PA平面BDE；

(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；

(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?

证明你的结论。

解：(1) 以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，=(2,0,-2)，=(0,1,1)，=(2,2,0)。

设=(x,y,z)是平面BDE的一个法向量，

则由，得 ；取=-1，=(1,-1,1)，

∵ ·=2-2=0，∴⊥，又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE。

(2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面BDE的一个法向量,又==(2,0,0)是平面DEC的一个法向量。

设二面角B-DE-C的平面角为θ,由图可知θ=<,>，

∴ cosθ=cos<,>===，

故二面角B-DE-C余弦值为。

(3)∵=(2,2,-2)，=(0,1,1)，∴·=0+2-2=0，∴PB⊥DE。

假设棱PB上存在点F，使PB平面DEF，设=λ(0＜λ＜1)，

则 =(2λ, 2λ,-2λ)，=+=(2λ, 2λ,2-2λ)，

由·=0 得 4λ² +4λ²-2λ(2-2λ)=0，

∴ λ=∈(0,1)，此时PF=PB，

即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF。

12、如图，正棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为4，D为CC₁中点，

(1)求证：AB₁⊥平面A₁BD；

(2)求二面角A-A₁D-B的大小。

解：(1)取BC中点O，连接AO，

取B₁C₁中点O₁，以O为原点，

如图建立空间直角坐标系O-xyz，　

则 B(2,0,0)，D(-2,2,0)，A₁(-4,2,2)，

A(0,0,2)，B₁(2,4,0)，

　=(2,4,- 2)，=(-4,2,0)，=(2,4,2)，

∵·=0，·=0，∴⊥，⊥，

∴⊥平面A₁BD。

(2)设平面A₁AD的法向量为=(x,y,z), =(-2,2,- 2)，=(0,4,0)。

　　 ⊥，⊥，∴ ，

令z=1，得=(-,0,1)为平面A₁AD的一个法向量，

由(1) =(2,4,2)为平面A₁BD的法向量，得cos<,>=，

∴所以二面角A-A₁D-B的大小为arccos。

11、已知f(x)=ax-lnx，x∈[0, e]，g(x)=，a∈R，

(1)若a=1，求f(x)的极小值；

(2)在(1)条件下证明f(x)＞g(x)+；

(3)是否存在实数a使f(x)的最小值为3。

解：(1)∵f(x)=ax-lnx，f ′(x)=1-=，

∴当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，此时f(x)单调递减；

当1＜x＜e时，f ′(x)＞0，此时f(x)单调递增。

∴ f(x)的极小值为f(1)=1。

(2)∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e)上的最小值为1，

　 ∴f(x)＞0，f(x)_min=1。

　 令h(x)=g(x)+=+，h′(x)= ，

当0＜x＜e时，h′(x)＞0，h(x)在(0，e)上单调递增，

∴h(x)_max= h(e)= +＜+1=| f(x)|_min。

∴在(1)的条件下，f(x)＞g(x)+。

(3)假设存在实数a，使f(x)=ax-lnx ，x∈[0, e]有最小值3，f′(x)=a-=，

①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)_min= f(e)=ae-1=3，a=(舍去)，所以，此时f(x)无最小值。

②当0＜＜e时，f(x)在(0, )上单调递减，在(, e]上单调递增，

f(x)_min= f()=1+lna=3，a=e²，满足条件。

③当≥e时，f(x)在(0，e)上单调递减，f(x)_min= f(e)=ae-1=3，a=(舍去)，所以，此时f(x)无最小值。

综上，存在实数a=e²，使得当x∈[0, e]时f(x)有最小值为3。

10、对任意x∈R，给定区间[k-,k+](k∈Z)，设函数f(x)表示实数x与x的给定区间内整数之差的绝对值。

(1)写出f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)= log_a，(e^- _＜a＜1)

试证明：当x＞1时，f(x)＞g(x)；当0＜x＜1时，f(x)＜g(x)；

(3)求方程f(x)- log_a=0的实根，(e^- _＜a＜1)。

解：(1)当x∈[k-,k+](k∈Z)时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故

　　　 f(x)=|x-k|，x∈[k-,k+](k∈Z)。

(2)①当x＞1时，|x-k| ≥0＞log_ax，所以f(x)＞g(x)；

②当＜x＜1时，设H(x)= g(x)- f(x)= log_ax-(1-x)，(＜x＜1)。

则H′(x)= ·log_ae+1=+1＜+1=-+1＜0，

所以当＜x＜1时，H(x)为减函数，H(x)＞H(1)=0，故f(x)＜g(x)；

③当0＜x≤时，设G(x)= g(x)- f(x)=log_ax-x，

明显G(x)为减函数，G(x)≥G()=H()＞0，故f(x)＜g(x)。

另证：g(x)=log_ax＞log_a=log_a4^- _＞log_ae^- _＞log_aa== f()＞f(x)。

(3)由(2)，容易验证x=1为方程 |x-k|-log_ax=0的实根，所以，若e^- _＜a＜1，方程f(x)-log_a=0有且仅有一个实根，实根为1。

9、已知函数f(x)=x+，g(x)= x-，a＜2-3，

(1)求证：函数f(x)在(0,1]上单调递增；

(2)函数g(x)在(0,1]上单调递减，求a的取值范围；

(3)若对任意x∈(0,1]，函数h(x)=x|x-b|+a的图象在x轴下方，求b的取值范围。

解：设0＜x₁＜x₂≤1，

(1)∵a＜0，∴f(x₁)- f(x₂)=( x₁-x₂)(1-)＜0，∴f(x)在(0，1)上递增。

(2)∵g(x₁)- g(x₂)=( x₁-x₂)(1-)＞0，∴1+＜0，a＜-x₁x₁，

而-x₁x₁最小值为-1，∴ a＜-1。

(3)∵h(x)＜0，即|x-b|＜-，∴x+＜b＜x-，即f(x)＜b＜g(x)，

∴f(x)_max＜b＜g(x)＜g(x)_min，x∈(0,1)。

当-1＜2-3时，由(1)知 f(x)_max为f(1)=1+a，

而g(x)=x-≥2，∴1+a＜b＜2。

当a＜-1时，由(2)结论的可逆性，可得g(x)最小值为g(1)=1-a，

由(1)知f(x)最大值仍为f(1)=1+a，∴1+a＜b＜1-a。

8.设数列{a_n}满足a₁ = 3，a_n+1 = 2a_n+n·2ⁿ⁺¹+3ⁿ，n≥1。

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)求数列{a_n}的前n项之和S_n。

解: (1) a_n = 2a_n-1+(n-1)·2ⁿ+3^n-1

=2[2a_n-2+(n-2)·2^n-1+3^n-2]+(n-1)·2ⁿ+3^n-1

=2²a_n-2+[(n-2)+(n-1)]·2ⁿ+(2·3^n-2+3^n-1)

=2²[2a_n-3+(n-3)·2^n-2+3^n-3]+[(n-2)+(n-1)]·2ⁿ+(2·3^n-2+3^n-1)

=2³a_n-3+[(n-3)+(n-2)+(n-1)]·2ⁿ+(2²·3^n-3+2·3^n-2+3^n-1)

=……

=2 ^n-1a₁+[1+2+3+…+(n-1)]·2ⁿ+(2^n-2·3+2^n-3·3²+…+3^n-1)

=2^n-1·3+·2ⁿ+2^n-2·3·

=2^n-1·(n²-n+3)+2^n-1·3[()^n-1-1]

=2^n-1·(n²-n)+3ⁿ。

(2)设数列{b_n}，其中 b_n =2^n-1·(n²-n)，M_n 为其前n项和，则S_n= M_n+3ⁿ。

M_n =0+1·2·2¹+2·3·2²+3·4·2³+…+(n-1)·n·2^n-1，

2M_n = 1·2·2²+2·3·2³+…+(n-1)·n·2ⁿ，

相减得　 - M_n = 1·2·2+2·2·2²+3·2·2³+…+2·(n-1)·2^n-1- (n-1)n·2ⁿ

=1·2²+2·2³+3·2⁴+…+(n-1)·2ⁿ- (n-1)n·2ⁿ，

-2 M_n = 1·2³+2·2⁴+3·2⁵+…+(n-1)·2ⁿ⁺¹- (n-1)·n·2ⁿ⁺¹，

相减得　 M_n = 1·2²+2³+2⁴+…+2ⁿ- (n-1)·2 ⁿ⁺¹+(n-1)n·2ⁿ

　　　 = (2-n)·2 ⁿ⁺¹+(n-1)·n·2ⁿ-4，

S_n = M_n+3+3²+…+3ⁿ

= - (n-2)·2ⁿ⁺¹+(n-1)·n·2ⁿ-4。

7、一变压器的铁芯截面为正十字形，为保证所需的磁通量，要求十字形应具有4m²的面积。

问应如何设计十字形的宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省。

解：设AB=h，则长y=2h+x。由题意，x²+4xh=4，

∴h=，又 l=2πR，欲求l的最小值，只须求出R的最小值，

　 4R²= x²+(2h+x)²=2(x²+2hx+2h²)，

设 φ(x)= x²+2hx+2h²

= x²++2h²+

=+x²+(0<x<2R)。

令 φ′(x)= x- =0 ⇒ x⁴=16，x=2，

这时 h==，y=2h+x=+1。

根据问题的实际意义，此最小周长l，最小半径R是存在的，

故 x=2cm，y =(+1)cm 即为所求。

6、水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间(单位：月)，以年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为

v(t)= 。

(1)若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1＜t≤i表示第i月份(i=1，2，…12)，问一年内那几个月份是枯水期？

(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e³=20计算)。

解：(1)当0<t≤9时，v(t)=(-t²+15t-51)e^t+50＜50，即t²-15t+51＞0，

解得 t＞或 t＜，

从而 0＜t＜≈5.2。

当9<t≤12时，v(t)=4(t-9)(3t-41)+50＜50，即(t-9)(3t-41) ＜0，

解得 9＜t＜，所以 9<t≤12。

综上，0＜t＜5.2或9<t≤12，枯水期为1，2，3，4，5，10，11，12月。

(2)由(1)知，水库的最大蓄水量只能在6~9月份。

　　　　　　 v′(t)=(-t²+13t-36)e^t =-e^t(t-1)(t-9)，

令v′(t)=0，解得t=9或t=4(舍去)，

又当t∈(6,9)时，v′(t)＞0；当t∈(9,10)时，v′(t)＜0。

所以，当t=9时，v(t)的最大值v(9)=×3×e⁹+50=150(亿立方米)，

故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米。

5、已知椭圆 x²+=1(0＜b＜1)的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B，过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m,n)。

(1)当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；

(2)直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论。

解：(1)设F、B、C的坐标分别为(-c, 0)，(0, b)，(1, 0)，则FC、BC的中垂线分别为x=，y-=(x-)，联立方程组，解出 。

　　　 m+n=+＞0，即 b-bc+b²-c＞0，即 (1+b)(b-c)＞0，∴b＞c。

从而b²＞c²，即有 a²＞2c²，∴e²＜，又e＞0，∴0＜e＜。

(2)直线AB与⊙P不能相切。由 k_AB=b，k_PB==，

如果直线AB与⊙P相切，则 b·=-1，又b²+c²=1，

解出c=0或2，与0＜c＜1矛盾，所以直线AB与⊙P不能相切。