91．★★★二项式定理二项展开式的通项公式，注意它表示的是展开式的第项，不是第项；注意

示例78：★★★若展开式中第项与第项的系数相同，那么展开式的中间一项的系

为 　　　。　　　　　　 　答案：20。

示例79：(2011年朝阳一模10)在二项式的展开式中，第四项的系数是　　　 。

答案：160。

90．★★★特别关注向量背景下的解几问题，及解几背景下的向量问题.能熟练地将“向量语言”转化为“解几语言”，如：即OA⊥OB；∥即A、B、C共线等；有时也需要将“几何语言”转化为“向量语言”或代数语言，如：∠APB为锐角等价于：，且A、P、B不共线；以AB为直径的圆过原点，则；M在AB的垂直平分线上，则可设AB中点为P，则等。

《排列、组合及二项式定理》

89．★★★焦点三角形或有一边是焦点弦的三角形的面积的求法，不一定要用弦长公式。

示例76：已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点(1，)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.

解：(Ⅰ)(过程略)　　 故椭圆的方程为.………5分

(Ⅱ)当直线轴，计算得到：，

，不符合题意.………6分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

由，消去y得　 ，……7分

显然成立，设，

则.……………8分

又

即 ，　　　 ………9分

又圆的半径.……………10分

所以

化简，得，

即，解得

所以，，.……………12分

故圆的方程为：.……………13分

(Ⅱ)另解：设直线的方程为 ，

由，消去x得 ，恒成立，

设，则……8分

所以…9分

又圆的半径为，………10分

所以，解得，

所以，………12分

故圆的方程为：.…………13分

温馨提醒：1)过定点F(-1,0)的直线，可设为 ，(不包括x轴)，这是由“过点(0，-1)的直线一般设为”类比推理而来。2)★★★注意理解。

示例77：已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求的取值范围；

(Ⅲ)试用表示△的面积，并求面积的最大值．

解：(Ⅰ)(过程略)所以椭圆方程为．

　 (Ⅱ)设直线的方程为，由可得．

设，

则，．

可得．

设线段中点为，则点的坐标为，

由题意有，

可得．可得，

又，所以．

(Ⅲ)设椭圆上焦点为，

则.

，

由，可得．

所以．

又，

所以.

所以△的面积为()．

设，

则．

可知在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，有最大值．

所以，当时，△的面积有最大值．

温馨提醒：请同学理解公式.

88．解析几何常用到韦达定理和弦长公式，韦达定理和弦长公式都要注意考虑判别式(因为只有判别式大于零，才会有两根，才会有弦长)。

87．★★★设过B(0，b)且不垂直于x轴的直线方程，常常设为，垂直于x轴情况单独考虑；设过A(a,0)且不垂直于y轴的直线方程，常常设为，垂直于y轴情况单独考虑。

示例75：设直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求直线的方程.

分析：由题可设直线：代入椭圆方程中得：，设，可得△OAB的面积S=，可得：

，则当时，S有最大值为1.此时直线方程为：.

86．先定位，再定量--先画图

示例74：已知双曲线经过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是　　　　 。答案：。

温馨提醒：没有两解。

比对：一条抛物线C过点，求抛物线方程。(此题有两解：开口向右及向上)。

85．★★★认清焦点在什么轴上，再写标准方程。双曲线焦点在轴上时的渐近线方程为。

84. ★★★必要时回归几何本质，比用解析法简单得多。

示例67：过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，

与另一条渐近线交于点B，若，则此双曲线的离心率为( C )

　　 A．　　　　　　 B．　　　　　　　 C．2　　　　　　 D．

温馨提醒：结合垂直平分线及两渐近线的倾斜角互补易求出一倾斜角为。

示例68：已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C：y²=8x

相交于A、B两点，F为C的焦点。若|FA|=2|FB|,

则k=( D )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

源网

[解析一]设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D

[解析二]可以过A点作BF的平行线交x轴于Q点，最后可求A点坐标 。

[解析三]设，

，，得。

根据焦半径公式，，，得。

求得，将其代入中得，故选D。

示例69：过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两

点(点在轴上方)， 　　　　　 ．答案：3.

示例70：设抛物线的焦点为F，倾斜角为锐角的直线经过F，且与抛物线相交于A、B两点，若F是线段AB的一个3等分点，则直线的斜率为(　D　)

A．　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

考点：抛物线的焦点弦问题。评级：基本题。

解法一：过A、B作准线的两条垂线，再过A作直角梯形另一底边的垂线AD，在直角三角形ABD中，，。

解法二：设、，则，

由得，-----①

显然直线方程的斜率存在，设为，由得

故，第一式结合①得代入得

示例71：过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，

若，则此抛物线的方程为( B )

A．　 B．　 C．　 D．　

直面考点：1)直角三角形的性质：在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这

条直角边所对的角等于30度；2)抛物线的性质：抛物线上任一点到焦点的距离等于它到准

线距离；3)准线方程与焦点坐标F(；4)点P在曲线

上。

略解：过B作垂直于准线的线段BG，则，故，

过A作AH垂直于x轴，从而。则A,代入抛物

线方程得，

解法2：几何法。

示例72：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于

点.若，则直线的斜率为______.答案：。

示例73：已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.(Ⅰ)求证：以线段为直径的圆与轴相切；(Ⅱ)若,,，求的取值范围.

　解：(Ⅰ)由已知,设，则，

圆心坐标为，圆心到轴的距离为，　　　　 …………………2分

圆的半径为，　　　　　　　　　　 …………………4分

所以，以线段为直径的圆与轴相切.　　　　　　　　　　　　 …………………5分

(Ⅱ)解法一：设，由,,得

，，　　 …………………6分

所以，

，　　　　　　　　　　　　　 …………………8分

由，得.

又，，

所以 .　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　…………………10分

代入，得，，

整理得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………12分

代入，得，

所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………13分

因为，所以的取值范围是.　　　　　　　　　 …………………14分

解法二：设，，

将代入，得，

所以(*)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………6分

由，，得

，，　 …………………7分

所以，，

，　　　　　　　　　　　 …………………8分

将代入(*)式，得，　　　　　　　　　　　 …………………10分

所以，.　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………12分

代入，得.　　　　　　　　　　　　　 …………………13分

因为，所以的取值范围是.　　　　　　　　　 …………………14分

解法三(几何法)：

设抛物线的准线为，准线交x轴于K点，BA的延长线交准线于M点，

过P作于H，分别过A、B作于I，于J，

设，则，，

由相似于得，

由抛物线的定义知，，

由相似于得，

故

设，则。从面

因为，所以。

83．★★★解析几何常用到韦达定理和弦长公式，韦达定理和弦长公式都要注意考虑判别式(因为只有判别式大于零，才会有两根，才会有弦长)。

82．椭圆的离心率是来刻画椭圆圆扁的几何量，离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁。(可以把圆的离心率看做是零)；双曲线的离心率是来刻画双曲线开口大小的几何量，离心率越小，开口越小，离心率越大，开口越大。

示例66：(2010年西城一模8)如图，在等腰梯形中，，且. 设，，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则(　 )

A．随着角度的增大，增大，为定值

B．随着角度的增大，减小，为定值

C．随着角度的增大，增大，也增大

D．随着角度的增大，减小，也减小

点评：建系后，观察易知：随着角度的增大，减小。