5.已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点(　)

A．成钝角三角形　 　　　　　B．成锐角三角形

C．成直角三角形　 　　　　　D．在一条直线上

解析：选D.D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线．

4．下列命题中正确的有几个(　)

①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；

②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；

③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．

A．0个 　　　　　　　　　　　B．1个

C．2个 　　　　　　　　　　　D．3个

解析：选C.在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，故这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．

3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　)

A．直线AC 　　　　　　　B．直线AB

C．直线CD 　　　　　　　D．直线BC

解析：选C.由题意，D∈l，l⊂β，∴D∈β.

又D∈AB，∴D∈平面ABC，

即D在平面ABC与平面β的交线上．

又C∈平面ABC，C∈β，

∴点C在平面β与平面ABC的交线上．

从而有平面ABC∩平面β＝CD.

2．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么(　)

A．M一定在直线AC上

B．M一定在直线BD上

C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上

D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

解析：选A.平面ABC∩平面ACD＝AC，M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC.

1．给出下列命题：

①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为(　)

A．①　 　　　　　　　　　　B．②

C．③ 　　　　　　　　　　　D．①③

解析：选C.①错，c可与a、b都相交；

②错，因为a、c可能相交也可能平行；

③正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件．故选C.

6.如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD，

求证：△EFG∽△BCD.

证明：在△ABD中，

∵AE∶AB=AG∶AD，

∴EG∥BD.同理，GF∥DC，EF∥BC.

又∠GEF与∠DBC方向相同．

∴∠GEF=∠DBC.

同理，∠EGF=∠BDC.

∴△EFG∽△BCD.

练习

5．a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定平面的个数为__________个．

解析：a上任一点与直线b确定一平面，共五个，b上任一点与直线a确定一平面，共四个，一共九个．

答案：9

4．(2010年合肥市高三质检)在空间中，

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．

以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．

解析：对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但ABCD共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.

答案：②

3．(2009年高考湖南卷)平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，既与AB共面也与CC₁共面的棱的条数为(　)

A．3 　　　　　　　　　　　　B．4

C．5 　　　　　　　　　　　　D．6

解析：选C.根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB₁、AA₁、C₁D₁符合条件．故选C.

2．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(　)

A．充分不必要条件 　　　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　　　 　D．既不充分也不必要条件

解析：选A.若两条直线异面，则两条直线无公共点；反之，若两条直线无公共点，两直线未必异面(还可能平行)，应选A.