478. 在正方体ABCD－中，E、F分别为和的中点，求证：直线∥平面．

解析：注意在△中，EF是中位线．

477. 如图9－20，在空间四边形ABCD中，E是边AB上的一点，求作过C、E的一个平面，使对角线BD平行于这个平面，并说明理由．

解析：在△ABD内过E点作BD的平行线，交AD于F．连结CE、CF，则BD∥平面CEF．∵BD∥EF(作图)，BD平面CEF，EF平面CEF，由直线与平面平行的判定定理可知BD∥平面CEF．

476. (1)若直线a、b均平行于平面a，那么a与b的位置关系是__________；

　(2)若直线a∥b，且a∥平面b，则b与b的位置关系是__________；

　(3)若直线a、b是异面直线，且a∥b，则b与b的关系是__________．

解析：1)平行、相交或异面．

　(2)b∥b或bb．

　(3)b∥b或bb或b与b相交．

475. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面a，CD平面a，则直线CD与平面a内的直

　线的位置关系只能是(　)．

　A．平行　　　　　　　　　　　　　　　 B．平行或异面

　C．平行或相交　　　　　　　　　　　　 D．异面或相交

解析：B．由已知CD∥平面a，a内的直线与CD平行或异面．

474. 给出下列四个命题：

　①若一直线与一个平面内的一条直线平行，则这直线与这个平面平行．

　②若一直线与一平面内的两条直线平行，则这直线与这个平面平行．

　③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

　④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．

　其中正确命题的个数是(　)．

　A．0　　　　　 B．1　　　　　 C．2　　　　　　 D．3

解析：B．只有③是正确的

473. 如图9-34，在△ABC中，∠ACB=90°，AB平面a ，点，C在a 内的射影为O，AC和BC与平面a 所成的角分别为30°和45°，CD是△ABC的AB边上的高线，求CD与平面a 所成角的大小．

解析：连结OD，∵　 CO⊥平面AOB，∴　 ∠CDO为CD与平面a 所成的角．∵　 AB、CB与平面a 所成角分别为30°和45°，∴　 ∠CAO=30°，∠CBO=45°．设CO=a，则AC=2a，OB=a，．在Rt△ABC中，，∴　 ．　 ∵　 CD⊥AB，∵　 ，∴　 ．在Rt△COD中，，∵　 0°＜∠CDO＜90°，∴　 ∠CDO=60°，即CD与平面a 所成的角为60°．

472. 已知D为平面ABC外一点，且DA、DB、DC两两垂直．求证：顶点D所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积的平方和，即．

解析：如图答9-25，设DA=a，DB=b，DC=c，则，，．在△ABD中，作DM⊥AB于M，则．　 ∵　 CD⊥AD，CD⊥DB，∴　 CD⊥平面ADB，∴　 CD⊥DM．在Rt△CDM中，

，　 ∴　

图答9-25

471. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥平面ABC．求证：△ABD是锐角三角形．

解析：如图答9-24，设AC=a，BC=b，CD=c，∵　 △ACD是Rt△，∴　 ．　 ∵　 △ABC是Rt△，∴　 ．∵　 △BCD是Rt△，∴　 ．而在

△ABD中，，又∵　 ∠BAD是三角形内角，∴　 0°＜∠BAD＜180°，∴　 ∠BAD是锐角，同理∠ABD、∠ADB是锐角，∴　 △ABD是锐角三角形．

490. 在正方体ABCD-中，六个面内与BD所成的角为60°的对角线共有多少条?

解析：参看图答9－10，与BD相交所成角为60°的面对角线、，，四条；与BD异面所成角为60°的面对角线有、、、四条，故一共8条．

489. 直线a和b是平行直线，点A、C在直线a上，点B、D在直线b上，那么直线AB与CD的位置关系是什么?若直线a和b是异面直线呢?

解析：若a∥b，则a，b共面于a，A、B、C、D均在a内，故AB与CD共面于a，则AB与CD的位置关系可能是平行或相交．若a、b是异面直线，则AB与CD必是异面直线．假设AB与CD共面于b，则AC与BD，即a、b共面．这与已知矛盾