498. 如图9－13，P是平面ABC外一点，PA＝4，，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3．求异面直线PA和BC所成角的大小．

解析：取AC中点F，连结DF、EF，在△PAC中，∵　 D是PC中点，F是AC中点，则DF∥PA，同理可得EF∥BC，∴　 ∠DFE为异面直线PA与BC所成的角．在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，∴　 ，∴ ∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°．

497. 如图9－12，O是平面ABC外一点，、、分别在线段OA、OB、OC上，且满足，．求证：△ABC∽△．

解析：∵　 ，，∴　 .在△AOB中，由，∴　 ∥AB，同理∥BC，∵　 与∠ABC方向相同，∴　 ＝∠ABC，同理＝∠BAC，∴　 △∽△ABC．

496. 如图9－11，在正方体ABCD-中，E、F分别是棱、的中点，求证：EF∥BD，且．

解析：连结．∵　 ∥，∴　 四边形是平面图形，又∵＝，∴　 四边形是平行四边形，∴　 BD，在△中，∵　 E、F分别是与的中点，∴　 EF，由公理4有EF∥BD，且有．

495. 已知m、n为异面直线，m平面a，n平面b，a∩b＝l，则l(　)．

　A．与m、n都相交　　　　　　　 B．与m、n中至少一条相交

　C．与m、n都不相交　　　　　　 D．至多与m、n中的一条相交

解析：B．可参看下列图形：

494. 三条直线共面的条件可以是(　)．

　A．这三条直线两两平行B．这三条直线交于一点

　C．这三条直线中的一条与另外两条都相交

　D．这三条直线两两相交，但不交于一点

解析：D．可参看下列图形：

493. 在正方体ABCD-中，与对角线异面的棱有(　)．

　A．3条　　　　 B．4条　　　　 C．6条　　　　　 D．8条

解析：C．如图答9－10，把正方体的几条棱分为三类，在平面上的四条棱中有、与异面，在平面ABCD上的四条棱中有AD、CD与异面，上下两底面之间的四条棱中，有、与是异面直线，故与异面的棱共6条．

492. 给出以下四个命题：

　①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行

　②若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行

　③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行

　④若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行

　其中错误命题的个数是(　)个．

　A．1　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　 D．4

解析：C．根据公理4，知③正确，利用正方体判断其余命题均不正确．由与AB所成角90°，BC与AB所成的角90°，但与BC不平行，从而①、②不正确；在平面内，DC在平面ABCD内，虽平面与平面ABCD相交，仍有∥DC，从而说明④不正确．

491. A、B、C、D是不在同一个平面内的四点．E是线段AD上一点．证明直线CE和BD是异面直线．

解析：设CE、BD不是异面直线，那么CE、BD在同一个平面(设为a)内．由E、D在平面a 内，则直线ED在平面a内，直线ED上的点A也在平面a内，即A、B、C、D都在平面a内，这与A、B、C、D不在同一平面内是相矛盾的，因此CE、BD是异面直线．

510. 棱锥被平行于底的平面分成体积相等的三部分.求这棱锥的高被分成三部分的比.

解析：设棱锥的高为h，它被截成的三部分自上而下设为h₁，h₂，h₃，则有

()³=,()³=2,()³=.

所以h₁=h,h₂=(-1)h₁=(-1)h，

h₃=h.

所以h₁∶h₂∶h₃=1∶(-1)∶(-).

说明 　求体积之比或面积之比常用相似比.

509. 已知三棱锥S-ABC的底面面积是a，三棱锥的高是h，M、N、P、Q分别是SB、SC、AC、AB的中点，求五面体MN-PQBC的体积

解析： 如图，过M作MD∥BA交SA于D，则D是SA的中点，连结ND，则ND∥AC

所求五面体MN-PQBC的体积等于原三棱锥的体积与五面体SA-MQPN的体积之差

而V_S-ABC=ah，

V_S-DMN=·a·=ah，

V_{三棱主柱DMN-APQ}=S_△AQP·h=ah，

∴V_MN-PQBC=V_S-ABC-V_SA-MQPN

=ah-(ah+ah)

=ah