24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．

(1)求直线及抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；

(3)连结，求与两角和的度数．

[解析]　　　　 ⑴ 沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，

．

设直线的解析式为．

在直线上，

．

解得．

直线的解析式为．···························································· 1分

抛物线过点，

解得

抛物线的解析式为．························································· 2分

⑵ 由．

可得．

，，，．

可得是等腰直角三角形．

，．

如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，

．

过点作于点．

．

可得，．

在与中，，，

．

，．

解得．

点在抛物线的对称轴上，

点的坐标为或．······························································· 5分

⑶ 解法一：

如图2，作点关于轴的对称点，则．

连结，

可得，．

由勾股定理可得，．

又，

．

是等腰直角三角形，，

．

．

．

即与两角和的度数为．··················································· 7分

解法二：

如图3，连结．

同解法一可得，．

在中，，，

．

在和中，

，，．

．

．

．

，

．

即与两角和的度数为．··················································· 7分

[点评]　　　　 本题设计得很精致，将几何与函数完美的结合在一起，对学生综合运用知识的能力要求较高，本题3问之间层层递进，后两问集中研究角度问题。中等层次的学生能够做出第⑴问，中上层次的学生可能会作出第⑵问，但第⑵问中符合条件的点有两个，此时学生易忽视其中某一个，成绩较好的学生才可能作出第⑶问，本题是拉开不同层次学生分数的一道好题。 本题考点：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、

等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理

难度系数：第⑴问：5.5；第⑵问：3.5；第⑶问：2.5

23．已知：关于的一元二次方程．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两个实数根分别为，(其中)．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．

[解析]　　　　 ⑴ 是关于的一元二次方程，

．

当时，，即．

方程有两个不相等的实数根．································································· 2分

⑵ 解：由求根公式，得．

或．················································································ 3分

，

．

，

，．·············································································· 4分

．

即为所求．··········· 5分

⑶ 在同一平面直角坐标系中分别画出

与的图象．

···················································· 6分

由图象可得，当时，． 7分

[点评]　　　　 本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、一次函数、用函数的观点看不等式等知识。对考生要求较高。 本题考点：一元二次方程根的判别式、代数式的大小比较、一次函数、用函数的观点看不等式。 难度系数：第⑴问：0.65；第⑵问：0.5；第⑶问：0.45

易忽视点：第⑶问中。

22．(本小题满分4分)

已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称(即图中阴影部分)为“重叠三角形”．

(1)若把三角形纸片放在等边三角形网格中(图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形)，点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；

(2)实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围(直接写出结果，备用图供实验，探究使用)．

解：(1)重叠三角形的面积为　　　　 ；

(2)用含的代数式表示重叠三角形的面积为　　　 ；的取值范围为　　 ．

[解析]　　　　 ⑴ 重叠三角形的面积为．　　　 1分

⑵ 用含的代数式表示重叠三角形的面积为；··················· 2分

的取值范围为．······································································ 4分

[点评]　　　　 本题是一个探究性的折叠问题，考核了学生对新知识的探究能力。本题题目较长，理解题意是解决本题的关键。 本题考点：等边三角形的性质、图形的折叠、平行四边形的性质等。 难度系数：0.5

21．(本小题满分5分)列方程或方程组解应用题：

京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？

[解析]　　　　 设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时千米．　　　 1分

依题意，得．···································································· 3分

解得．································································································· 4分

答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米．····················· 5分

[点评]　　　　 本题也是一道与时事紧密相关的数学题，在考核学生数学知识的同时让学生了解时事，本题着重考核了学生应用适当的数学模型解决实际问题的能力。 本题考点：列一元一次方程解应用题 难度系数：0.6 易忽视点：预计时间为30分钟，学生易忽视。

19．(本小题满分5分)

已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．

(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；

(2)若，，求的长．

[解析]　　　　 ⑴ 直线与相切．　 1分

证明：如图1，连结．

，

．

，　　　　 ．

又，

．

．

直线与相切．············································································· 2分

⑵ 解法一：如图1，连结．

是的直径，　　　 ．

，

．···················································································· 3分

，，

．············································································ 4分

，　　　 ．·································································· 5分

解法二：如图2，过点作于点．　　　 ．

，

．······· 3分

，，

．························ 4分

，

．······························································································· 5分

[点评]　　　　 本题是一道与圆相关的综合题，第⑴问是常规的切线证明，第⑵问则是可以综合相似、三角函数、勾股定理等知识解决，是考核学生综合能力的一道好题。 本题考点：圆切线的判定、圆的有关性质(垂径定理、直径所对的圆周角是直角)、相似(或三角函数、勾股定理) 难度系数：第⑴问：0.6；第⑵问：0.5

18．(本小题满分5分)

如图，在梯形中，，，，，，求的长．

[解析]　　　　 解法一： 如图1，分别过点作于点，

于点．································ 1分

．

又，

四边形是矩形．

．································· 2分

，，，

．

．

，

························································································· 4分

在中，，

．··············································· 5分

解法二：

如图2，过点作，分别交于点．····························· 1分

，

．

，

．

在中，，，，

···································································· 2分

在中，，，，

．

．····················································································· 4分

在中，，

．···························································· 5分

[点评]　　　　 统观北京及全国各地中考试卷，几何中的计算往往会与两个知识点有关：①圆；②梯形。

本题考点：等腰直角三角形的性质、特殊四边形的性质、勾股定理.

难度系数：0.6.

17．(本小题满分5分)

已知，求的值．

[解析]　　　　

····························································································· 2分

．······································································································ 3分

当时，．··············································································· 4分

原式．················································································· 5分

[点评]　　　　 试卷到本题以后整体难度有所上升。本题考核了分式的化简求值。解决本题的关键是分式的正确化简、将已知条件的适当变形代入消元。 本题考点：分式的化简求值。 难度系数：0.65

16．(本小题满分5分)

如图，已知直线经过点，求此直线与轴，轴的交点坐标．

[解析]　　　　 由图象可知，点在直线上，　　　 1分

．

解得．·································································································· 2分

直线的解析式为．······································································· 3分

令，可得．

直线与轴的交点坐标为．······························································ 4分

令，可得．

直线与轴的交点坐标为．······························································· 5分

[点评]　　　　 本题考核的是一次函数中较为基础的知识.题目难度较小 本题考点：一次函数解析式的确定、一次函数与坐标轴的交点的确定. 难度系数：0.75

15．(本小题满分5分)

已知：如图，为上一点，点分别在两侧．，，．求证：．

[解析]　　　　 ，

．·································································································· 2分

在和中，

．························································································ 4分

．·································································································· 5分

[点评]　　　　 本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显。本题是解答题中几何的第1道题，难度较小是为了让所有的考生在进入解答题后都有一个顺利的开端，避免产生畏惧心理，这样考试才有信心做后面较难的题目。 本题考点：全等三角形的判定(SAS)和性质. 难度系数：0.9