3. 若二次函数y=mx²-3x+2m-m²的图象经过原点，则m的值是(　　 )

A .1　　　　　 B. 0 　　　　　C. 2　　　　　　 D. 0或2

2. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则a的符号是　 ，b的符号

是　　 ，c的符号是　　 .当x　　 时， y＞0，当x　　 时，y=0,

当x　　 时，y < 0 .

1. 二次函数y=x²-3x-4的顶点坐标是　　　 , 对称轴是直线　　　　 ，与x轴的交点是　　　 ，当x=　　 时，y有最　　 ，是　　　 .

2.4二次函数的应用

[知识要点]

　运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内.

课内同步精练

●A组　　 基础练习

23.5二次函数的应用同步练习

第1题. 用长木条，做成如图的窗框(包括中间棱)，若不计损耗，窗户的最大面积为　　 ．

答案：

第2题. 在底边长，高的三角形铁板上，要截一块矩形铁板，如图所示．当矩形的边　　 时，矩形铁板的面积最大，其最大面积为　　 　　 ．

答案：　　

第3题. 如图，用长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为(　　 )

A．45　　　 B．50　　　 C．60　　　 D．65

答案：B

第4题. 用长的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( 　　 )

A．　　　 B．

C．　　　 D．

答案：C

第5题. 用长的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，为了使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( 　　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

答案：C

第6题. 如图，用长的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框(包括窗棱)，若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为(　　　 )

A．　　　　 B．

C．　　　 D．

答案：C

第7题. 图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横截面的地平线为轴，横断面的对称轴为轴，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为，和是两侧高为的支柱，和为两个方向的汽车通行区，宽都为，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度为(即)．

(1)求桥拱所在抛物线的函数表达式．

(2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为，为相应的和两个方向的行人及非机动车通行区，试求和的宽．

(3)按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱间的距离不得小于，今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为，设备的顶部与地面距离为，它能否从(或)区域安全通过，请说明理由．

答案：(1)设所在抛物线为，，，

，，．

(2)，，，，和宽都为．

(3)在中，当时，．，

该货车可以从(或)区域安全通过．

第8题. 如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子，恰在水面中心，，由处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流离距离为处达到距水面最大高度．

(1)以为坐标轴原点，为轴建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式；

(2)水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

(3)若水池的半径为，要使水流不落到池外，此时水流高度应达多少米(精确到)？

答案：(1)依题意可知，．抛物线开口向下，

表达式为

(2)令，得(舍去)，，水池半径至少．

(3)由于抛物线形状与上面相同，即二次项系数为，故可设此抛物线为，

求得，，水流的最大高度为．

第9题. 如图，在△中，，，，点在上运动，交于，于，设，梯形的面积为．

(1)求关于的函数表达式及自变量的取值范围；

(2)当梯形的面积为4时，求的值；

(3)梯形的面积是否有最大值，如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

答案：(1)由，得△△，，．在中，，，，．

，

，．

(2)当时，．

(3)当时，梯形面积最大，为．

第10题. 某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线(部分)表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？

答题要求：(1)请提供四条信息；

(2)不必求函数的表达式．

答案：(1)2月份每千克销售价是3.5元　(2)7月份每千克销售价是0.5元(3)1月到7月的销售价逐月下降(4)7月到12月的销售价逐月上升(5)2月与7月的销售差价是3元／kg(6)7月份销售价最低，1月份销售价最高(7)6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月、2月与12月的销售价相同(答案不唯一)

第11题. 用12m长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为

　　　m．

答案：2

第12题. 如图，用12m长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，应选择窗子的长、宽各为　　　m．

答案：3、2

第13题. 如图，在矩形中，，，点从出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，分别到达，两点后就停止运动．

(1)设运动开始后第时，五边形的面积为，试写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

(2)第几秒五边形的面积最小？是多少？

答案：(1)第时，，，，

故．

，．

(2)，故当时，有最小值63，即第时，五边形的面积最小，为．

第14题. 如图，有长为的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．

(1)求与的函数关系式．

(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？

(3)能围成面积比还大的花圃吗？如果能，求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

答案：(1)，故．

(2)由已知得，即，解得，，

当时，，不合题意，故，即．

(3)．

，，随着的增大而减小．

故当时，有最大值．

能围成面积比还大的花圃．

围法：，花圃的长为，宽为．这时花圃面积最大，为．

第15题. 如图，在Rt△中，，，，点在斜边上，分别作于，于，设，．

(1)求与之间的函数关系，并求出的取值范围．

(2)设四边形的面积为，试求的最大值．

答案：(1)由已知得是矩形，故，．由得△△，，即，．

(2)．

当时，有最大值8．

第16题. 某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．

已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支

(不含进价)总计120万元．在销售过程中发现，年销售量

(万件)与销售单位(元)之间存在着如图所示的一次函数关系．

(1)求关于的函数关系式；

(2)试写出该公司销售该种产品的年获利(万元)关于销售单价(元)的函数关系式(年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支)．当销售单价为何值时，年获利最大？并求这个最大值；

(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助(2)中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

答案：解：(1)设，它过点

　解得：

　　 　．

　(2)

当元时，最大年获利为60万元．

　(3)令，得，

　整理得：

　解得：，

由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．

又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．

第17题. 如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .

(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm² .

① 求S关于t的函数关系式；

② (附加题) 求S的最大值.

答案：(1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.

∴ S_ΔAPE=.

(2) ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.

当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，

而BD=，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.

当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.

故S关于t的函数关系式为

②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为；

当6≤t≤8时，S的最大值为；

当8≤t≤10时，S的最大值为；

所以当t=8时，S有最大值为

第18题. 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成(如图所示)．若设花园的(m)，花园的面积为(m)．

(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)满足条件的花园面积能达到200 m吗？若能，求出此时的值；若不能，说明理由；

(3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

解：(1)

(2)

(3)

答案：解：(1)根据题意得：

　 (2)当时，

　　即

解得：

此花园的面积不能达到200m

(3)的图像是开口向下的抛物线，对称轴为．

　当时，的增大而增大

当有最大值

(m)

即：当时，花园面积最大，最大面积为187.5m

第19题. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管高出地面1.5m，在处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头与水流最高点的连线与地平面成的角，水流的最高点离地平面距离比喷水头离地平面距离高出2m，水流的落地点为．在建立如图所示的直角坐标系中：

(1)　 求抛物线的函数解析式；

(2)　 求水流的落地点到点的距离是多少m？

答案：　解：在如图所建立的直角坐标系中，

由题意知，点的坐标为，

为等腰直角三角形，

，

点坐标为

(1)设抛物线的函数解析式为，

　则抛物线过点顶点为，

　当时，

　由，得，

　由，得

　解之，得(舍去)，．

　所以抛物线的解析式为．

(2)点为抛物线的图象与轴的交点，

　　当时，即：，解得，

　　不合题意，舍去，取．

　　点坐标为(m)．

　　答：水流的落地点到点的距离是m．

23.2 二次函数y=a的图象和性质同步练习

第1题． 对于抛物线和的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同．其中正确的有(　)

A．0个　　　 B．1个　　　 C． 2个　　 　　 D．3个

答案：D

第2题． 下列关于抛物线的说法中，正确的是(　)

A．开口向下　　　　　　　　　　 B．对称轴是直线x=1

C．与x轴有两个交点　　　　 　　 D．顶点坐标是(-1，0)

答案：D

第3题． 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，a，b，c的取值范围(　)

A．a<0，b<0，c<0　　 　　 B．a<0，b>0，c<0

C．a>0，b>0，c<0　　 　　 D．a>0，b<0，c<0

答案：D

第4题． 与抛物线关于y轴对称的图象表示的函数关系式是(　)

A．　　　 B．

C．　　　 D．

答案：C

第5题． 若抛物线的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_______．

答案：

第6题． 对于抛物线，当顶点纵坐标等于_________时，顶点在x轴上，此时抛物线与x轴只有一个公共点，而a≠0，所以，抛物线与x轴只有一个公共点的条件是_________．

答案：0，4ac-b²=0，且a≠0

第7题． 若抛物线与x轴只有一公共点，则m=_________．

答案：1

第8题． 函数的图象开口向_________，顶点坐标为__________

答案：上，(-2，-7)

第9题． 二次函数的图象开口_____，对称轴是________，顶点坐标是_______．

答案：向上， y轴，(0，2)

第10题． 抛物线与x轴交点个数为________．

答案：2个

第11题． 二次函数的图象向右平移3个单位，在向上平移1个单位，得到的图象的关系式是____．

答案：或

第12题． 抛物线的顶点坐标为_________，对称轴为________．

答案：(，)，x=

第13题． 作出下列函数的图象：

答案：略

第14题． 作出下列函数的图象：

答案：略

第15题． 用描点法画出下列二次函数的图象：

答案：略

第16题． 已知二次函数的图象经过点A(-1，1)

①　　 求这个二次函数的关系式；

②　　 求当x=2时的函数y的值．

答案：，

第17题． 若抛物线的顶点在第二象限，则常数m的取值范围是(　)

A．　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

答案：C

第18题． 如下图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是(　)

A．x＞3　　 B．x＜3 　　　　 C．x＞1　　 D．x＜1

答案：C

第19题． 二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为(　)

A．6　　　　 B．4　　　　 C．3　　　　 D．1

答案：C

第20题． 抛物线与x轴交于B、C两点，顶点为A，则△ABC的面积为(　)

A 16　　　　　　 B 8 　　　　　　 C 4　　　　 D 2

答案：B

第21题． 若抛物线，的形状相同，那么(　)

A．　　　　　 B．

C．|a1|=|a2| 　　　　　 D．a1与a2的关系无法确定

答案：C

第22题． 为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁．若足球运行的路线是抛物线(如图6)，则下列结论：①a＜；②＜a＜0； ③a-b+c＞0；④0＜b＜-12a．其中正确的是(　)

A．①③　　 B．①④　　 C．②③　　 D．②④

答案：D

第23题． 与抛物线关于x轴对称的图象表示为(　)

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

答案：A

第24题． 若抛物线全部在x轴的下方，那么a_________0，同时，b2-4ac_________0．

答案：<，<

第25题． 把抛物线向右平移一个单位，在向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是_________．

答案：

第26题． 若点(2，-1)在抛物线上，那么，当x=2时，y=_________

答案：-1

第27题． 抛物线，关于x轴对称的图象的关系式是_______________．

答案：

第28题． 抛物线和中开口较大的是__________．

答案：

第29题． 已知抛物线，另一条抛物线y₂的顶点为(2，5)，且形状、大小与y₁相同，开口方向相反，则抛物线y₂的关系式为______________．

答案：

第30题． 抛物线的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么，k=_________．

答案：3

第31题． 设二次函数的图象开口向下，顶点在第二象限内．

①确定a，b，的符号；

②若此二次函数的图象经过原点，且顶点的横坐标与纵坐标互为相反数，顶点与原点的距离为，求此二次函数的关系式

答案：① a<0，b<0，b²-4ac>0；

②

第32题． 抛物线与x轴交于A、B两点，如果要求点A在(0，0)与(1，0)之间，点B在(2，0)与(3，0)之间，请确定m的取值范围

答案：

第33题． 是否存在以y轴为对称轴的抛物线，经过(3，-4)和(-3，4)两点，若存在，请写出抛物线的解析式；若不存在请说明理由．

答案：不存在．

若存在以y轴为对称轴的抛物线，经过(3，-4)和(-3，4)两点，必然也过他们的对称点(-3，-4)、(3，4)这样，抛物线的解析式便可以有两种形式，y=a(x+3)(x-3)+4和y=a(x+3)(x-3)-4，这样的a不存在

第34题． 若点P(1，a)和Q(-1，b)都在抛物线上，则线段PQ的长为_____

答案：2

第35题． 二次函数的值永远为正，则c的取值范围是(　)

A．　　 B．　　 C．　　 D．

答案：C

第36题． 二次函数的图象如图，则点M(，a)在(　)

A．第一象限 　　　　 B．第二象限

C．第三象限　　 　　 D．第四象限

答案：D

第37题． 若二次函数，当x取x₁，x₂(x₁≠x₂)时，函数值相等，则当x取x₁+x₂时，函数值为(　)

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　 D．

答案：D

第38题． 二次函数的顶点在(　)

A．　　　 B．　　 C．x轴上　　　　 D．y轴上

答案：A

第39题． 关于二次函数的最大(小)值，叙述正确的是(　)

A．当时，函数有最大值

B．当时，函数有最小值

C．当时，函数有最大值

D．当时，函数有最小值

答案：D

第40题． 若直线y=不经过第三，第四象限，则抛物线(　)

A．开口向上，对称轴是y轴

B．开口向下，对称轴是y轴

C．开口向上，对称轴平行于y轴

D．开口向下，对称轴平行于y轴

答案：C

第41题． 抛物线对称轴是(　)

A．直线　　B．直线　　C．直线　　D．直线

答案：D

第42题． 已知函数，设自变量的值分别为x₁，x₂，x₃，且-3< x₁< x₂<x₃，则对应的函数值的大小关系是(　)

A．y₃>y₂>y₁　　B．y₁>y₃>y₂ 　　C．y₂<y₃<y₁　　D．y₃<y₂<y₁

答案：A

第43题． 下列关于抛物线的说法中，正确的是(　)

A．开口向下　　　　　B．对称轴方程为x=1

C．与x轴有两个交点　　　 D．顶点坐标为(-1，0)

答案：D

第44题． 函数(a≠0)的图象与a的符号有关的是(　)

A．对称轴　　B．顶点坐标　　C．开口方向　　D．开口大小

答案：C

第45题． 请你写出函数与具有一个共同性质为__________．

答案：图象都是抛物线，开口向上，都有最低点(或最小值)

第46题． 试写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，与y轴的交点的坐标为(0，3)的抛物线的解析式____________________．

答案：如等

第47题． 函数的图象可以通过的图象向____移动______个单位，再向______移动____个单位后得到．

答案：右，1，下，7

第48题． 已知二次函数的最小值为1，那么m的值是　　　　　 ．

答案：10

第49题． 由函数解析式画图象，一般按　　、　　、　　三个步骤进行．

答案：列表，描点，连线

第50题． 已知抛物线l₁：

(1)在平面直角坐标系中，画出抛物线，并求出抛物线l₁的顶点关于y轴对称的点的坐标；

(2)已知抛物线l₂与抛物线l₁关于y轴对称，求抛物线l₂的函数解析式．

答案：(1)图略，(-2，-1)

(2)

第51题． 已知二次函数的图象过点(0，5)．

(1)求m的值，并写出二次函数的解析式；

(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴

答案：(1)m=3，则

(2)顶点坐标为(-3，-4)，对称轴

第52题． 判断函数的图象是否经过第三象限？说明理由．

答案：^{不经过第三象限，当时， ，则，即，故当点的横坐标时，纵坐标y总是正数，也就是说横纵坐标不能同时为负数，因而该函数图象不可能经过第三象限}

第53题． 函数与如图所示，则下列选项中正确的是(　)

A．ab>0，c>0　　 　　B．ab<0，c>0

C．ab>0，c<0　　 　　D．ab<0，c<0

答案：D

5．填空(如果需要可作草图)：

(1)抛物线y＝x²的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________；

(2)抛物线y=x²+2的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________；

(3)抛物线y＝x²－3的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________．

可以发现，抛物线y＝x²+2，y＝x²－3与抛物线 y＝x²的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝x²沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线 y＝x²+2；把抛物线 y＝x²沿 y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝x²－3．

4．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x²，y＝－x²+2，y＝－x²－3的图象，然后根据图象填空：

抛物线y＝－x²的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________；

抛物线y＝－x²+2的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________；

抛物线y＝－x²－3的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________．

可以发现，抛物线 y＝－x²+2，y＝－x²－3与抛物线 y＝－x²的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝－x²沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线 y＝－x²+2；把抛物线y＝－x²沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝－x²－3．

3．(1)抛物线 y＝ax²的开口方向和开口大小由________决定，当a________0时，抛物线的开口向上；当a________0时，抛物线的开口向下；

(2)抛物线y＝ax²的顶点坐标是(　　 )，当a________0时，它是抛物线的最低点，即当x＝________时，函数取得最小值为________；当a________0时，它是抛物线的最高点，即当x＝________时，函数取得最大值为________；

(3)抛物线y＝ax²的对称轴是________．

2．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x²，y＝－2x²和y＝－3x²的图象，然后根据图象填空：

抛物线y＝－x²的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________；

抛物线y＝－2x²的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________；

抛物线y＝－3x²的顶点坐标是(　　 )，对称轴是________，开口向________．

可以发现，抛物线y＝－x²，y＝－2x²，y＝－3x²的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．