例2 　如图2，小明将一张矩形的纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若BA：BC=4：5，则cos∠DCF的值是______．

分析：根据折叠的性质可知△EBC≌△EFC，所以CF=CB，

又CD=AB，AB：BC=4：5，

所以CD：CF=4：5，

在Rt△DCF中，cos∠DCF=．

例1　如图1， 在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB等于(　　 )

(A) 　　(B) 　(C) 　 (D)

分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．

因为tanA=，所以可设a=5k，b=12k(k>0)，根据勾股定理得c=13k，

所以sinB=．应选(B)．

2．为锐角，化简

答案： 1．(提示：1=) 　　　　　 2．1　　　　　 (提示： )

求三角函数值的策略

求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．

解直角三角形在生产、生活中有着广泛的应用，这就要求我们能从实际问题出发去分析、抽象、构建直角三角形模型．

例4　 　如图4，公路PQ和公路PN在P处交汇，∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路PN上由P向N方向行驶时，学校是否会受噪音的影响？设拖拉机的速度为18km/s，如果有影响，那么影响的时间是多长？

分析：学校是否会受影响，取决于点A到PN的距离与100m的长短的比较．

解：过点A作AB⊥PN，垂足为B，因为∠NPQ=30°，

所以AB=(m)<100m．

所以学校会受影响．设拖拉机行至C处时学校刚受影响，

超过D处时不在受影响，则AC=AD=100(m)，

在Rt△ABC中，BC=，

同理BD=60，所以CD=120．

所以学校受影响的时间为t=．

同角三角函数的基本关系

三角函数 角	sin	cos	tan
300
450			1
600

从表中不难得出：

　，

　，

　，

那么，对于任意锐角A，是否存在，呢？

事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系：

如图，在，所对的边依次为a，b，c

则　 ①　　　　　 (平方关系)

②，　 (商的关系)

③　　　　　　　 (倒数关系)

证明：①

即

②

即 ，

③

即

通过以上证明，可以得出以下结论：

①对于任意锐角A，的正弦与余弦的平方和等于1，即．

②对于任意锐角A，的正弦与余弦的商等于的正切，即．

③对于任意锐角A，的余弦与正弦的商等于的余切，即．

④对于任意锐角A，的正切和余切互为倒数，．

运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程．

例1　已知为锐角，求．

解：为锐角

又

此题还可以利用定义求解，方法不唯一．

例2　计算

解：原式=

　　　　 =1-1

　　　　 =0

本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目．

1．化简：

通过设未知数表示三角形中的数量关系，构造方程解决问题的思想，即方程思想．

例3　如图3，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°．已知AB＝20 m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留根号)．

解：作CD⊥AB垂足为D，设气球离地面的高度是xcm，

在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x，

在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，所以BD=

因为AB=AD-BD，所以20=x-，所以x=30+30，

所以气球离地面的高度是(30+30)m．

将斜边三角形转化为直角三角形，是解决有关问题的重要的思想方法，解决的方法是作三角形的高．

例2 　如图2，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=8，求AC．

分析：已知三角形的两角和边，求其中的一边的长，我们可以通过作三角形的高，将原三角形转化为两个直角三角形求解．

解：作AD⊥BC于D，

在Rt△ABD中，因为∠B=45°，

所以BD=AD=AB·sin45°=8×=4，

在Rt△ACD中，AD=4，∠C=60°，

所以AC=．

在解直角三角形时，应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对解直角三角形本质的理解．

例1 　已知tanA=，求sinA的值．

分析：此已知条件可转化为：已知Rt△ABC中，

∠C=90°， tanA=，求∠A正弦值．

解：如图1，若设AC=3k，BC=4k，那么必有AB=5k，所以sinA=．

例4　 如图，直升机在长江大桥AB上方P点处，此时飞机离地面高度为acm，且A、B、O三点在一条直线上，测得点A俯角为，点B的俯角为，求长江大桥AB的长度．

错解　 在中

　　　 ∴OA=OP×tana．

　　　 在中，．

　　　 ∵，∴．

　　　 ∴AB=OA-OB=OP()=a()．

分析　 把从P点观测A点的俯角误认为，从P点观测B点的俯角误认为，只有弄清俯角才能避免该错误．

正解　 根据题意，得，

　　　 ∴．

　　　 在中，．

　　　 在中，．

　　　　　 ∴AB=OA-OB=

=OP()

=a()．

解直角三角形的探究性问题

素质教育下的数学学习应是生动活泼的、主动的且富有个性的，为体现这一特色，自己提出问题自己解答的探究性问题应运而生．解决这类问题，不仅需要扎实的基础知识和基本技能，而且需要思维的灵活性和创造性．

例　如图1，山上有一铁塔，山脚下有一矩形建筑物，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度和高度都可直接测得，从三点可以看到塔顶，可供使用的测量工具有皮尺，测角仪．

(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶到地面高度的方案，具体要求如下：

①测量数据尽可能少；②在所给图形中，画出你设计的测量平面图，并将应测数据记在图形上(如果测间距离用表示；如果测间距离，用表示；如果测角，用等表示，测角仪高度不计)．

(2)根据你测得的数据，计算塔顶到地面的高度(用字母表示)．

分析：本例是一道全开放试题，它要求考生自行编拟出测量高度的方法，其设计方案很多．

方案一：(1)如图2，(测三个数据)，．

(2)解：设，在中，．在中，

，所以，所以．

方案二：(1)如图3(测量四个数据)，．

(2)解：设，在中，；在中，，所以，所以．

方案三：(1)如图4(测量五个数据)，，

，，．

(2)略．

本题还有许多方案，请你也设计出一个方案来．

由上可见，探究性学习试题不再拘泥于“学什么，考什么”的老模式，而是渗透于各方面的知识(包括高中和大学的知识)，面对这类试题，它要求同学们凭自己的初中数学基本功迅速接受新事物，适应新情况，探寻新方法，解决新问题，以此测试同学们的学习潜能与创新精神，激发探索欲望．

“跳一跳，摘得到”，探究性试题对于传统试题来说是突破，是创新，同学们在学习中应予以足够重视．

解直角三角形的中的数学思想

数学思想是数学的灵魂，学习了解直角三角形，下面向大家介绍其中的一些数学思想．

例3 　在中，，AC=1cm，BC=2cm，求sinA，tanA．

错解　 在中，∵，AC=1，BC=2，

∴．

∴．　 ∴．

∴．

分析　 错误地应用了“若直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边对角为”，没有分清斜边和直角边，避免该错误的有效方法是应画出图形，利用“数形结合”进行解答．

正解　 在中，∵，

　　　 ∴．

　　　 ∴，

　　　 ．

例2　 下列说法：

　　 (1)若为锐角，则；

　　 (2)在中，已知，则；

　　 (3)；

　　 (4)若为锐角，且，则．

　　　 其中正确的说法是(　　 )

　　　 A．2个　　 B．3个　　 C．4个　　 D．都不对

错解　 选D

分析 (1)因受的影响，而错误认为，正确答案为．(2)在中，的前提是．(3)不是与的积，而是一个整体，表示的正切．正确答案是：．(4)同角与互为余角的正、余切关系的混淆而出现错误．正确答案为：．

正解　 选D．