例3 (1)已知在四边形ABCD中， ∠B=∠D=90°，M为AC上任一点，且MP⊥BC，MQ⊥AD，求证：是一个定值。 　分析：从动点的临界位置(特殊点)探求定值。 　M运动到A(或C)时，值为1。 　M到中点时=1，猜到后证明。 　略证：=1。 　例4、已知过定⊙O的直径AB的两端及上任一点E作⊙O的三条切线AD，BC和CD。它们分别交于D，C点，求证AD·BC是定值。 　分析：从动点的特殊位置，图形的特殊形状等探求定值。 　E到临界位置A(B)不存在，找特殊中点则出现两个正方形，边长为R，猜想AD·BC=R²， 　简证：连接OD、OE、OC，应证明OD⊥OC，OE⊥CD，∴ RtΔODE∽RtΔCOE　 　∴ AD·BC=DE·CE=OE²=R²。 　例5、如图，半径为a的半圆内有两正方形ABCD，BEFG，点D、F在半圆周上，点C，G在半圆内。 　(1)试证明截得的这两个正方形的面积和为定值； 　(2)判别DO与OF的位置关系。 　分析：从图形的特殊位置探索定值。 　①不变的是半径a，可变的是两个正方形的边长，当两正方形边长相等时是特殊位置，S₁+S₂=＝a²+a²=a². 　②由特殊位置可以得到OD⊥OF. 　证明RtΔAOD≌RtΔEFO (HL) 　证明：(1)设正方形ABCD和BEFG的边长分别为x, y, 　OA=, OE=, 又OA+OE=AB+BE=x+y, 　∴ +=x+y 　-x=-+y 　a²-x²-2x+x²=a²-y²-2y+y² 　x=y　x²(a²-x²)=y²(a²-y²) 　a²x²-x⁴-a²y²+y⁴=0 　(x²-y²)(a²-x²-y²)=0 　∴ x²=y²或x²+y²=a², 　∵ x²=y²时，有S_ABCD+S_BEFG =＝a²+a²=a². 　x²+y²=a²时，也有 　∴ S_ABCD+S_BEFG=a². 　∴ 截得的这两个正方形的面积和为定值 　(2) ∵ x²+y²=a²，∴ y²=a²-x²=OA²=EF², 　∴ OA=EF，又OD＝OF，∴ RT△AOD≌RT△EFO， 　∴ ∠AOD+∠EOF＝90°，∴ OD⊥OF。 　一般情况下，解决定值问题的关键在于探求定值，一旦定值被探求出来，问题就转化为我们熟悉的几何证明题，但定值有时又只能分类讨论。 　例6．若三角形的一边与其对角为定值，由另两角的顶点作对边的垂线，则两垂足之间的距离为定值，试证明之。 　(1)设∠A=α，BC=a, 0°<α<90°， 　 　BE⊥AC，CD⊥AB，D、E为垂足，连DE， 　∴ D，B，C，E以BC为直径的圆上，∴ ∠1=∠ACB， 　又∠A=∠A，∴ ΔADE∽ΔACB，∴ =cosα, 　∴ DE=a·cosα. 　(2)α=90°时，DE=0， 　(3)90°<α<180°时，=cos(180°-α),

　∴ DE=a·cos(180°-α). 　∴ 若三角形的一边与其对角为定值，由另两角的顶点到对边的垂线，则两垂足之间的距离为定值。

例1 已知抛物线y=x²+kx+1与x轴相交于两个不同的点A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试求如何平移此抛物线使其∠ACB=60°。

　 分析　很多同学对这道题感到比较生疏，一是有的已知条件，如∠ACB=90°意味着什么？怎样入手解？二是平移后使∠ACB=60°，又意味着什么？

　 不妨换个角度考虑问题，画图观察一下。草图如图所示，可看到由于抛物线的对称性，∠ACB=90°就意味着△ACB是等腰直角三角形，就是说，斜边AB上的高CD等于斜边AB的一半，而AB的长等于这两点横坐标差的绝对值，CD的长则是顶点C纵坐标的绝对值。于是可以列出方程，求得k的值：设A、B两点横坐标分别为x₁、x₂，则它们是方程x²+kx+1=0的两个相异的实数根，那么有 　 　于是AB=|x₂-x₁|= 　又设顶点C的坐标为(x₀,y₀)，应用顶点坐标公式，有y₀=，CD=|y₀|。 　那么条件CD=AB就是如下方程： 　|x₁-x₂|=|y₀|，即 　 (∵k²-4>0)。 　 (k²-4)²-4(k²-4)=0，　 (k²-4)(k²-8)=0。　

∵k²-4>0，∴k²-8=0。∴k=±2。　

于是抛物线解析式为y=x²±2x+1。　

这样通过观察图形和计算，不但弄清了∠ACB=90°意味着什么和如何利用这个条件求出k值，同时也提示我们用同样的方法去分析平移抛物线，使其∠ACB=60°。画图分析可看到，抛物线向下平移，∠ACB逐渐变小，当∠ACB=60°时，由抛物线的对称性可知△ACB为等边三角形。因为等边三角形的高等于边长的倍，所以CD=AB，这就给我们提供了一个等量关系，利用这个关系列方程，可求出平移后抛物线解析式中的常数项。

设把抛物线y=x²±2x+1向下平称|l|个单位后，使∠ACB=60°，则平移后抛物线的解析式为　y=x²±2x+1+l。 　设A、B两点的横坐标分别为，C点纵坐标为，

则按题意有||　 ① 　又=±2，=1+l，

因此　=。　

==l-1。　

代入①，得=|1-l|。　

平方，整理得(1-l)(l+2)=0。　

因平移后抛物线仍保持同x轴有两个交点，

所以|x₁-x₂|=≠0，即1-l≠0。　

可得l+2=0，即l=-2。　

于是可知，把已知抛物线向下平移2个单位，就能使∠ACB=60°。解略。 　例2 已知平面直角坐标系内两点A(-2,0),B(4,0),点P在直线y=x+上，且ΔABP为直角三角形，求：(1)点P的坐标；(2)经P，A，B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？若存在，求出抛物线的解析式。 　 　分析：本例给出了直角三角形的一条边，求这条边所对的顶点坐标，这条边即可是直角边又可是斜边，A，B，P均可为直角顶点，∠A，∠B为直角时，对称轴平行于y轴的抛物线不存在。 　解：(1)分三种情况： 　① 若点A为直角顶点，过A作AP₁⊥x轴交直线y=x+于点P₁，

设P₁(-2,y)， 则y=(-2)+=, ∴ P₁(-2,). 　② 若点B为直角顶点，过B作P₂B⊥x轴交直线y=x+于点P₂，

设P₂(4,y),则y=, ∴ P₂(4,). 　③ 若点P(x,y)为直角顶点，过P作PQ⊥x轴于Q(x,0),

又AB中点C(1,0),连结PC=AB=3。 　得：， 　∴ 或 ，经检验均是原方程的根。 　∴ P₃(-), P₄(1,3). 　综上P点坐标为(-2,),(4,),(-),(1,3). 　(2)设过A、B、P三点的抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x-4)，将P₃，P₄代入， 　∴ 　得a=-或a=-, 　∴ y=-++ 或 y=-, 　过A，B，P₁或过A，B，P₂三点，对称轴平行于y轴的抛物线不存在，要数形结合，善于联想，把握二次函数图象的对称轴一定平行于y轴的特征模型。 　

22．班主任要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩如下(单位：cm)：

(1)他们的平均成绩分别是多少？

(2)甲、乙两名运动员这10次比赛成绩的极差、方差分别是多少？

(3)怎样评价这两名运动员的运动成绩？

(4)历届比赛表明，成绩达到5.96m就有可能夺冠，你认为为了夺冠应选择谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10m就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选择谁参加这项比赛？

21.某次考试中， A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩如下表所示：(单位：分)

(1)求这五位同学数学成绩的标准差和极差(结果可保留根号)；

(2)为了比较同一学生不同学科考试成绩的好与差，可采用“标准分”进行比较，标准分大的成绩更好； 已知： 标准分－(个人成绩－平均分)÷成绩的标准差

　 请通过计算说明A同学在这次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？

20．为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加竞赛，学校每个月对他们的学习进行一次测验，如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图．

(1)分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数、极差及方差；

(2)如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次竞赛．请结合所学习的统计知识说明理由．

19.甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位：厘米)如下：

甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；　

乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；　

(1)将下表填完整：　

(2)甲队队员身高的平均数为　　　 厘米，乙队队员身高的平均数为　　　 厘米；

(3)你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由．

18．甲乙两名战士在相同条件下各射击10次，每次命中的环数分别是：

甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7　　　　　 乙：6，7，7，6，7，8，7，9，8，5

(1)分别计算以上两组数据的极差；

(2)分别求出两组数据的方差；

(3)根据计算结果，评价一下两名战士的射击情况。

17．一组数据的极差为4，方差为2将这组数据都扩大3倍，则所得一组新数据的极差和方差是

A．4，2　　　　　 B．12，6　　　　　　 C．4，32　　　　　 D．12，18

16．若一组数据, ，… , 的方差为9，则数据，，…，的标准差是_______．

15．若一组数据，，…，的方差是5，则一组新数据，，…，的方差是

　A．5　　 　　　B．10　　　　　 C．20　　　　 D．50