1．平面向量数量积的定义、运算、运算律

7．已知点M(2,3)，N(8,4)，点P在线段MN上，且，

求点P坐标和λ。

解：设点P坐标为(x, y)，由，，

又∵　 可知λ¹ 0，且，

从而,　 ∴

∴

∴

代入检验(*)： 或

∴点P坐标

或点P坐标

6．已知A(1,2)，B(-1,3)，C(2,-2)，点M分的比λ为3:1，点N在线段BC上，且，求点N的坐标。

解：由题设：=3　　 ∴=

又：　　 ∴

即：||||sinÐABC =•||||sinÐABC

又 || =||　　　 ∴ || = ||　　

∴=　 即N分的比为4:5,　 设N(x, y)

　　 ∴点N的坐标是

5．已知△ABC的顶点是A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，C(x₃, y₃)，求△ABC的重心G的坐标(x, y)。

解：如图：∵D是BC中点，

　　 ∴D点的坐标()

且G分有向线段AD所成的比λ=2

∴G的坐标

∴△ABC的重心G的坐标是()

4．已知M(1,-3)，N(4,6)，P(x,3)，且三点共线，求点P分有向线段MN所成的比λ及x的值。

解： 　

解得：λ= 2,　 x = 3

3．已知：A(1,-2)，B(2,1)，C(3,2)，D(-2,3)，

1°求证：A，B，C三点不共线

2°以、为一组基底来表示++

解：1°∵=(1,3), =(2,4)　 ∵1×4-3×2¹0　 ∴

　　　 ∴A，B，C三点不共线

　　 2°++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) = (-12,8)

　　　 设：++= m+ n

　　　 即：(-12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)

　　　 ∴ ∴++= 32-22

2．设a = (1,x)，b = (-1,3)，且2a + b∥a -2b，试求x。

解：2a + b = (1,),　 a -2b = (3, x-6)

　　 ∵2a + b∥a -2b　 ∴1×(x-6) - (2x+3)×3 = 0 Þ x = -3

1．已知四边形的顶点坐标为A(1,2)，B(2,5)，C(8,14)，D(3,5)，

求证：四边形ABCD是一个梯形。

证：∵=(2,3), =(6,9) 且2×9-3×6=0　 ∴∥

又∵=(1,3), =(-5,-9) 而1×(-9)-3×(-5)¹0 ∴∥

∴ABCD为梯形

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：∵=t

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　∴=+=+ t

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=+ t(-)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =+ t-t

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =(1-t) + t

=　　　　　 =λ₁　　　 ==+=λ₁+λ₂

=　　　　　 =λ₂

得平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ₁，λ₂使=λ₁+λ₂

注意几个问题：1°　 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底

2° 这个定理也叫共面向量定理

3°λ₁，λ₂是被，，唯一确定的数量

2．例一( P106例三)已知向量，　 求作向量-2.5+3。

　 　 作法：1° 取点O，作=-2.5　 =3

　　　　　　 2° 作　　 OACB，即为所求+

例二、(P106例4)如图　　 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，

用，表示，，和

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：在　　 ABCD中

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵=+=+

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =-=-

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴=-=-(+)=--

==(-)=-　　　 ==+

=-=-=-+

例三、已知　　 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，

求证：+++=4

　 证：∵E是对角线AC和BD的交点

　　　　 ∴==-

　　 　　　==-

在△OAE中　　 +=

同理：+=　　　 +=　　　 +=

以上各式相加，得：+++=4