已知函数，且，且的定义域为[0, 1]

（1）求的表达式

（2）判断的单调性并加以证明； 

（3）求的值域．

 

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当x∈(

1

3n

，

1

3n-1

](n=1，2，3，…)时，试证明：f（x）＜3x+3．

已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），且f（4）=f（1）=1，f'（x）为f（x）的导函数，函数y=f'（x）的图象如图所示．则：
（1）f（x）的单调递减区间为 ；
（2）点（a，b）所在平面区域

a≥0 b≥0 f(a+b)＜1

所围成的面积是 ．

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）试比较f(

1

2n

)与

1

2n

+2的大小；
（Ⅲ）某同学发现：当x=

1

2n

（n∈N）时，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．