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    例1已知:如图.ABCD中.E.F分别是AD.BC的中点.求证:BE=DF． 分析:证明BE=DF.可以证明两个三角形全等.也可以证明 四边形BEDF是平行四边形.比较方法.可以看出第二种方法简单． 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AD∥CB.AD=CD． ∵ E.F分别是AD.BC的中点. ∴ DE∥BF.且DE=AD.BF=BC． ∴ DE=BF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形)． ∴ BE=DF． 此题综合运用了平行四边形的性质和判定.先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件.再应用平行四边形的性质得出结论,题目虽不复杂.但层次有三.且利用知识较多.因此应使学生获得清晰的证明思路． 例2已知:如图.ABCD中.E.F分别是AC上两点.且BE⊥AC于E.DF⊥AC于F．求证:四边形BEDF是平行四边形． 分析:因为BE⊥AC于E.DF⊥AC于F.所以BE∥DF．需再证明BE=DF.这需要证明△ABE与△CDF全等.由角角边即可． 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AB=CD.且AB∥CD． ∴ ∠BAE=∠DCF． ∵ BE⊥AC于E.DF⊥AC于F. ∴ BE∥DF.且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE≌△CDF (AAS)． ∴ BE=DF． ∴ 四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形)． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    阅读理解题：
    已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
    求证：CD=PE+PF．
    在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：
    小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图1），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．
    小颖的思路方法是：连接PA（如图2），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．
    由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
    阅读上面的材料，然后解答下面的问题：
    （1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整
    （2）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论
    求EM+EN的值．
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    阅读理解题：
    已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
    求证：CD=PE+PF．
    在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：
    小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图1），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．
    小颖的思路方法是：连接PA（如图2），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．
    由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
    阅读上面的材料，然后解答下面的问题：
    （1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整
    （2）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论
    求EM+EN的值．

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    阅读理解题：
    已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
    求证：CD=PE+PF．
    在解答这个问题时，小明与小颖的思路方法分别如下：
    小明的思路方法是：过点P作PG⊥CD于G（如图1），则可证得四边形PEDG是矩形，也可证得△PCG≌△CPF，从而得到PE=DG，PF=CG，因此得CD=PE+PF．
    小颖的思路方法是：连接PA（如图2），则S△ABC=S△PAB+S△PAC，再由三角形的面积公式便可证得CD=PE+PF．
    由此得到结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
    阅读上面的材料，然后解答下面的问题：
    （1）针对小明或小颖的思路方法，请选择俩人中的一种方法把证明过程补充完整
    （2）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E是BC上任意一点，EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，试利用上述结论
    求EM+EN的值．

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    阅读与证明：

    如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF＝45°，求证：BF＋DE＝EF．

    分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF＋DE相等的线段．如图延长ED至点，使D＝BF，连接A，易证△ABF≌△AD，进一步证明△AEF≌△AE，即可得结论．

    (1)请你将下面的证明过程补充完整．

    证明：延长ED至，使D＝BF，

    ∵四边形ABCD是正方形

    ∴AB＝AD，∠ABF＝∠AD＝90°，

    ∴△ABF≌△AD(SAS)

    应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．

    (2)设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；

    (3)设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：________．

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    阅读与证明：
    如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF=45°，

    求证：BF+DE=EF．
    分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF+DE相等的线段．如图1延长ED至点F′，使DF′=BF，连接A F′，易证△ABF≌△ADF′，进一步证明△AEF≌△AEF′，即可得结论．
    （1）请你将下面的证明过程补充完整．
    证明：延长ED至F′，使DF′=BF，
    ∵四边形ABCD是正方形
    ∴AB=AD，∠ABF=∠ADF′=90°，
    ∴△ABF≌△ADF’（SAS）
    应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上．
    （2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
    （3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式：______．

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