[例1]判断函数的单调性. 错解:是减函数错因:概念不清.导致判断错误.这是一个复合函数.而复合函数的单调性.仍是从基础函数的单调性分析.但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为——青夏教育精英家教网—

[例1]判断函数的单调性. 错解:是减函数错因:概念不清.导致判断错误.这是一个复合函数.而复合函数的单调性.仍是从基础函数的单调性分析.但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为.从而可判断出其单调性. 正解: 令.则该函数在R上是减函数.又在R上是减函数. ∴ 是增函数 [例2]判断函数的奇偶性. 错解:∵＝ ∴ ∴是偶函数错因:对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x.都有f的实质是:函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 正解:有意义时必须满足即函数的定义域是{|}.由于定义域不关于原点对称.所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 [例3] 判断的奇偶性. 错解:∵ ∴且所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因:对数运算公式不熟悉.或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f f.也可改为研究f-f(x)＝0是否成立. 正解:方法一:∵ ＝＝＝- ∴是奇函数方法二:∵ ＝ ∴是奇函数 [例4]函数y=的单调增区间是 . 错解:因为函数的对称轴是.图像是抛物线.开口向下.由图可知在上是增函数.所以y=的增区间是错因:在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法.但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.从而忽视了函数的定义域.导致了解题的错误. 正解:y=的定义域是.又在区间上增函数.在区间是减函数.所以y=的增区间是 [例5] 已知奇函数f(x)是定义在上的减函数.且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,求x的取值范围. 错解:∵f(x)是奇函数.∴f(x-3)<-f(x2-3)= f (3-x2),又f(x)在上是减函数. ∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0 解得x>2或x<-3 又 f(x)是定义在上的函数. 所以2＜x＜3 错因:只考虑到奇函数与单调性.而没有正确理解函数的定义域. 正解:由,故0<x<, 又∵f(x)是奇函数.∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在上是减函数. ∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,综上得2<x<,即A={x|2<x<}, [例6] 作出下列函数的图像. 分析:显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难.除去对其函数性质分析外.我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 解:(1)当x≥2时.即x-2≥0时. 当x＜2时.即x-2＜0时. 所以这是分段函数.每段函数图像可根据二次函数图像作出 (2)当x≥1时.lgx≥0.y=10lgx=x, 当0＜x＜1时.lgx＜0. 所以这是分段函数.每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出. 点评:作不熟悉的函数图像.可以变形成基本函数再作图.但要注意变形过程是否等价.要特别注意x.y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如:一次函数.反比例函数.二次函数.指数函数.对数函数.及三角函数.反三角函数的图像. [例7]若f(x)= 在区间(-2.+)上是增函数.求a的取值范围解:设由f(x)=在区间(-2.+)上是增函数得 ∴a＞点评:有关于单调性的问题.当我们感觉陌生.不熟悉或走投无路时.回到单调性的定义上去.往往给我们带来“柳暗花明又一村的感觉. [例8] 已知函数f(x)在上有定义.f()=-1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x.y∈都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (1)f(x)为奇函数,(2)f(x)在上单调递减解:证明:(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0.1)上单调递减. 令0<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f() ∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0.∴>0, 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<<1,由题意知f()<0.? 即f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0.1)上为减函数.又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在上为减函数. 点评:本题知识依托:奇偶性及单调性定义及判定.赋值法及转化思想.对函数的奇偶性.单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值不够准确.运算技能不过关.结果很难获得. 对于(1).获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键,对于(2).判定的范围是解题的焦点. 【查看更多】

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对于函数