(六)二项式定理内容:1 的展开式.项数.的指数. 2 展开式中的通项公式 3 各项系数和的求法及各项二项式系数和的求法. 4 二项式系数最要的项.是第几项? 5 注意展开——青夏教育精英家教网—

(六)二项式定理内容:1 的展开式.项数.的指数. 2 展开式中的通项公式 3 各项系数和的求法及各项二项式系数和的求法. 4 二项式系数最要的项.是第几项? 5 注意展开式的逆用. 6 用二项式定理求近似值,证明整除问题. 例7 已知的展开式前三项中的x的系数成等差数列． ① 求展开式里所有的x的有理项, ② 求展开式中二项式系数最大的项．评析 (1) 把握住二项展开式的通项公式.是掌握二项式定理的关键．除通项公式外.还应熟练掌握二项式的指数.项数.展开式的系数间的关系.性质． (2) 应用通项公式求二项展开的特定项.如求某一项.含x某次幂的项.常数项.有理项.系数最大的项等.一般是应用通项公式根据题意列方程.在求得n或r后.再求所需的项(要注意n和r的数值范围及大小关系)． (3) 注意区分展开式“第r+1项的二项式系数与“第r+1项的系数．例8 某地现有耕地1000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加22%.人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%.那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷? 解设耕地平均每年至少只能减少x公顷.又设该地区现有人口为P人.粮食单产为M顷．答:按规划该地区耕地每年至多只能减少4公顷．评析二项式定理的应用十分广泛.主要有以下四个方面:求展开式的特定项,近似计算,证明整除性和不等式,证明组合数等式或求和．本例的最后运用了二项展开式进行近似计算．数学应用性问题怎么解数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式.排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视. 例1某校有教职员工150人.为了丰富教工的课余生活.每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计.每次去健身房的人有10%下次去娱乐室.而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问.随着时间的推移.去健身房的人数能否趋于稳定? 讲解: 引入字母,转化为递归数列模型. 设第n次去健身房的人数为an.去娱乐室的人数为bn.则. . .于是即 . .故随着时间的推移.去健身房的人数稳定在100人左右. 上述解法中提炼的模型, 使我们联想到了课本典型习题已知数列的项满足其中.证明这个数列的通项公式是有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题就属此类模型. 例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时从A港出发前往50千米处的B港.然后乘汽车以匀速W千米/小时自B港向300千米处的C市驶去.在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车.摩托艇所需的时间分别是x小时.y小时.若所需经费元.那么V.W分别为多少时.所需经费最少?并求出这时所花的经费. 讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解. 由于又则z最大时P最小. 作出可行域.可知过点时, z有最大值38. ∴P有最小值93.这时V=12.5.W=30. 视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法. 例3 某铁路指挥部接到预报.24小时后将有一场超历史记录的大暴雨.为确保万无一失.指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程.经测算.其工程量除现有施工人员连续奋战外.还需要20辆翻斗车同时作业24小时.但是.除了有一辆车可以立即投入施工外.其余车辆需要从各处紧急抽调.每隔20分钟有一辆车到达并投入施工.而指挥部最多可组织25辆车.问24小时内能否完成防洪堤坝工程?并说明理由. 讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型. 由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知.每辆车.每小时的工作效率为.设从第一辆车投入施工算起.各车的工作时间为a1.a2.-, a25小时.依题意它们组成公差的等差数列.且 .化简可得. 解得. 可见a1的工作时间可以满足要求.即工程可以在24小时内完成. 对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案. 例4 某学校为了教职工的住房问题.计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m2.且每层的建筑面积相同.土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算.第一.二层的建筑费用相同都为445元/m2.以后每增高一层.其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数.使总费用最少.并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和). 讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型? 设楼高为n层.总费用为y元.则征地面积为.征地费用为元.楼层建筑费用为 [445+445++-+445+30×(n-2)]·元.从而 (元) 当且仅当 , n=20(层)时.总费用y最少. 故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A元. 实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法. 例5 在一很大的湖岸边停放着一只小船.由于缆绳突然断开.小船被风刮跑.其方向与湖岸成15°角.速度为2.5km/h.同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船.已知他在岸上跑的速度为4km/h.在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变.则小船能被人追上的最大速度是多少? 讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型. 设船速为v.显然时人是不可能追上小船.当km/h时.人不必在岸上跑.而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船.因此只要考虑的情况.由于人在水中游的速度小于船的速度.人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶.当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时.人才能追上小船.设船速为v.人追上船所用时间为t.人在岸上跑的时间为.则人在水中游的时间为.人要追上小船.则人船运动的路线满足如图所示的三角形. 由余弦是理得即整理得. 要使上式在(0.1)范围内有实数解.则有且解得. 故当船速在内时.人船运动路线可物成三角形.即人能追上小船.船能使人追上的最大速度为.由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船. 涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注. 例6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比.与它的厚度 d的平方成正比.与它的长度l的平方成反比. (1)将此枕木翻转90°.枕木的安全负荷变大吗?为什么? (2)现有一根横断面为半圆的木材.用它来截取成长方形的枕木.其长度即为枕木规定的长度.问如何截取.可使安全负荷最大? 讲解:(1)安全负荷为正常数) 翻转 .安全负荷变大.-4分当 .安全负荷变小. (2)如图.设截取的宽为a.高为d.则. ∵枕木长度不变.∴u=ad2最大时.安全负荷最大. .当且仅当.即取. 取时.u最大. 即安全负荷最大. 三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和或“定积的技巧性. 例7 已知甲.乙.丙三种食物的维生素A.B含量及成本如下表.若用甲.乙.丙三种食物各x千克.y千克.z千克配成100千克混合食物.并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B. 甲乙丙维生素A 600 700 400 维生素B 800 400 500 成本 11 9 4 (1)用x.y表示混合食物成本c元, (2)确定x.y.z的值.使成本最低. 讲解:(1)依题意得 . (2)由 , 得 . 当且仅当时等号成立., ∴当x=50千克.y=20千克.z=30千克时.混合物成本最低为850元. 线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法, 试试看. 例8 随着机构改革工作的深入进行.各单位要减员增效.有一家公司现有职员人(140<<420.且为偶数).每人每年可创利万元.据评估.在经营条件不变的前提下.每裁员1人.则留岗职员每人每年多创利万元.但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费.并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的.为获得最大的经济效益.该公司应裁员多少人? 讲解设裁员人.可获得的经济效益为万元,则 = 依题意 ≥ ∴0<≤. 又140<<420, 70<<210. (1)当0<≤,即70<≤140时. , 取到最大值; (2)当>,即140<<210时. , 取到最大值; 综上所述.当70<≤140时.应裁员人,当140<<210时.应裁员人. 在多字母的数学问题当中.分类求解时需要搞清:为什么分类?对谁分类?如何分类? 例9 某城市2001年末汽车保有量为30万辆.预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%.并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境.要求该城市汽车保有量不超过60万辆.那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 讲解设2001年末汽车保有量为万辆.以后各年末汽车保有量依次为万辆.万辆.--.每年新增汽车万辆.则 . 所以.当时..两式相减得: (1)显然.若.则.即.此时 (2)若.则数列为以为首项.以为公比的等比数列.所以.. (i)若.则对于任意正整数.均有.所以..此时. (ii)当时..则对于任意正整数.均有.所以.. 由.得 . 要使对于任意正整数.均有恒成立. 即对于任意正整数恒成立.解这个关于x的一元一次不等式 , 得 , 上式恒成立的条件为:.由于关于的函数单调递减.所以.. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知(x-1)ⁿ的展开式第二项的二项式系数为10，则第六项的系数是________________.

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已知(x-1)ⁿ的展开式第二项的二项式系数为10，则第六项的系数是________________.

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（1）在（1+x）ⁿ的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n等于多少？
（2）(x