设数列{b_n}{P_n}满足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+

n

3n+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若存在实数t，使得数列C_n=（b_n-

1

4

）•

t

n+1

+n成等差数列，记数列{C_n•（

1

2

）^C_n}的前n项和为Tn，证明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）设A_n=

1

n(n+1)

T_n，数列{A_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜

5

2

．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-（a_n+2）S_n+1=0，1-S_n=a_nb_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若正项数列{c_n}满足cn≤

a

1+(bn-1)a

(n∈N*，0＜a＜1)，求证：

n

k=1

ck

k+1

＜1．

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足a_n＞0，2S_n=a_n²+n（n∈N*）．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜测数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（3）求证：

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+

1

a 2 3

+…+

1

a 2 n

＜

7

4

．