已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+

c

x2

（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．

已知函数y=x+

a

x

（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+

b2

x

（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x²+

c

x2

（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+

1

x

)2+(

1

x2

+x)2在区间[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

用向量方法可以证明：若P为正三角形内切圆上任意一点，则点P到三角形三个顶点距离的平方和为定值．请你针对这个问题进行研究，写出一个推广后的正确命题：．
①若P为正三角形外接圆上任意一点，则点P到三角形三个顶点距离的平方和为定值．
②若正三角形A₁A₂A₃外接圆的圆心为O，半径为R，P为平面上任意一点，则|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2=3|PO|²+3R²．
③若P为正多边形内切圆上任意一点，则点P到各个顶点距离的平方和为定值．
④若P为正多边形外接圆上任意一点，则点P到各个顶点距离的平方和为定值．

（理科）函数y=x+

a

x

(a是常数，且a＞0)有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判断函数y=x2+

c

x2

（常数c＞0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）对函数y=x+

a

x

和y=x2+

c

x2

（常数c＞0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例．判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）．

已知点E、F的坐标分别是（-2，0）、（2，0），直线EP、FP相交于点P，且它们的斜率之积为-

1

4

．
（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆C上，并写出椭圆C的方程；
（2）设过原点O的直线AB交（1）中的椭圆C于点A、B，定点M的坐标为(1，

1

2

)，试求△MAB面积的最大值，并求此时直线AB的斜率k_AB；
（3）反思（2）题的解答，当△MAB的面积取得最大值时，探索（2）题的结论中直线AB的斜率k_AB和OM所在直线的斜率k_OM之间的关系．由此推广到点M位置的一般情况或椭圆的一般情况（使第（2）题的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决．
[说明：本小题将根据你所提出的猜想或问题的质量分层评分]．