例1.求与直线3x+4y+12=0平行.且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程. 分析:满足两个条件才能确定一条直线.一般地.求直线方程有两个解法.即用其中一个条件列出含待定系数的方程.再用——青夏教育精英家教网—

例1.求与直线3x+4y+12=0平行.且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程. 分析:满足两个条件才能确定一条直线.一般地.求直线方程有两个解法.即用其中一个条件列出含待定系数的方程.再用另一个条件求出此参数. 解法一:先用"平行"这个条件设出l 的方程为3x+4y+m=0①再用"面积"条件去求m.∵直线l交x轴于 .交y轴于由 .得 .代入①得所求直线的方程为: 解法二:先用面积这个条件列出l的方程.设l在x轴上截距离a.在y轴上截距b.则有 .因为l的倾角为钝角.所以a.b同号.|ab|=ab.l的截距式为 .即48x+a2y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行.∴ .∴ 代入②得所求直线l 的方程为说明:与直线Ax+By+C=0平行的直线可写成Ax+By+C1=0的形式,与Ax+By+C=0垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C2=0的形式. 例2.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点.其中A.求实数m的取值范围. 解:直线mx+y+2=0过一定点C.直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点的直线系.因为直线与线段AB有交点.则直线只能落在∠ABC的内部.设BC.CA这两条直线的斜率分别为k1.k2.则由斜率的定义可知.直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2. ∵A ∴ ∴-m≥ 或-m≤ 即m≤ 或m≥ 说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题.这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切.而当倾角在或内.角的正切函数都是单调递增的.因此当直线在∠ACB内部变化时.k应大于或等于kBC.或者k小于或等于kAC.当A.B两点的坐标变化时.也要能求出m的范围. 例3.已知x.y满足约束条件 x≥1. x-3y≤-4. 3x+5y≤30. 求目标函数z=2x-y的最大值和最小值. 解:根据x.y满足的约束条件作出可行域.即如图所示的阴影部分. 作直线 :2x-y=0.再作一组平行于的直线 :2x-y=t.t∈R. 可知.当在的右下方时.直线上的点(x.y)满足2x-y＞0.即t＞0.而且直线往右平移时.t随之增大.当直线平移至的位置时.直线经过可行域上的点B.此时所对应的t最大,当在的左上方时.直线上的点(x.y)满足2x-y＜0.即t＜0.而且直线往左平移时.t随之减小.当直线平移至的位置时.直线经过可行域上的点C.此时所对应的t最小. x-3y+4=0. 由解得点B的坐标为(5.3), 3x+5y-30=0. x=1. 由解得点C的坐标为(1. ). 3x+5y-30=0. 所以. =2×5-3=7, =2×1- = . 例4.某运输公司有10辆载重量为6吨的A型卡车与载重量为8吨的B型卡车.有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中.该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次.B型卡车7次,每辆卡车每天的成本费A型车350元.B型车400元.问每天派出A型车与B型车各多少辆.公司所花的成本费最低.最低为多少? 解:设每天派出A型车与B型车各x.y辆.并设公司每天的成本为z元.由题意.得 x≤10. y≤5. x+y≤11. 48x+56y≥60. x.y∈N. 且z=350x+400y. x≤10. y≤5. 即 x+y≤11. 6x+7y≥55. x.y∈N. 作出可行域.作直线 :350x+400y=0.即7x+8y=0. 作出一组平行直线:7x+8y=t中经过可行域内的点和原点距离最近的直线.此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A( .5).由于点A的坐标不都是整数.而x.y∈N.所以可行域内的点A( .5)不是最优解. 为求出最优解.必须进行定量分析. 因为.7× +8×5≈69.2.所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小的直线是7x+8y=10.在可行域内满足该方程的整数解只有x=10.y=0.所以是最优解.即当通过B点时.z=350×10+400×0=3500元为最小. 答:每天派出A型车10辆不派B型车.公司所化的成本费最低为3500元. 例5.已知点T是半圆O的直径AB上一点.AB=2.OT=t .以AB为直腰作直角梯形 .使垂直且等于AT.使垂直且等于BT. 交半圆于P.Q两点.建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线的方程, (2)计算出点P.Q的坐标, (3)证明:由点P发出的光线.经AB反射后.反射光线通过点Q. 解: (1 ) 显然 , 于是直线的方程为 , (2)由方程组解出 . , (3) , . 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知.由点P发出的光线经点T反射.反射光线通过点Q. 说明:需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗? 例6.设P是圆M:2=1上的动点.它关于A的对称点为Q.把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S.求|SQ|的最值. 解:设P.记P点对应的复数为x+yi.则S点对应的复数为: ·i=-y+xi.即S ∴ 其中可以看作是点P到定点B的距离.共最大值为最小值为 .则 |SQ|的最大值为 .|SQ|的最小值为例7. 已知⊙M: 轴上的动点.QA.QB分别切⊙M于A.B两点.(1)如果 .求直线MQ的方程, (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 解:(1)由 .可得由射影定理.得在Rt△MOQ中. . 故 . 所以直线AB方程是 (2)连接MB.MQ.设由点M.P.Q在一直线上.得由射影定理得即把消去a. 并注意到 .可得说明:适时应用平面几何知识.这是快速解答本题的要害所在. 例8.直线过抛物线的焦点.且与抛物线相交于A 两点.(1)求证: ; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦CD.直线l不是CD的垂直平分线. 解: (1)易求得抛物线的焦点 . 若l⊥x轴.则l的方程为 . 若l不垂直于x轴.可设 ,代入抛物线方程整理得 . 综上可知 . (2)设 .则CD的垂直平分线的方程为假设过F.则整理得 . . 这时的方程为y=0.从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点.因此与l不重合.l不是CD的垂直平分线. 说明:此题是课本题的深化.课本是高考试题的生长点.复习要重视课本. 例9.已知椭圆 .能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M.使它到左准线的距离为它到两焦点F1.F2距离的等比中项.若能找到.求出该点的坐标.若不能找到.请说明理由. 解:假设存在满足条件的点.设Ma2=4.b2=3.∴a=2. .c=1.∴ . .点M到椭圆左准线的距离 .∴ .∴ .∴ 或 .这与x1∈[-2.0)相矛盾.∴满足条件的点M不存在. 例10.已知椭圆中心在原点.焦点在轴上.焦距为4.离心率为 . (Ⅰ)求椭圆方程, (Ⅱ)设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M.又点A和点B在椭圆上.且M分有向线段所成的比为2.求线段AB所在直线的方程. 解:(Ⅰ)设椭圆方程为由2c=4得c=2 又故a=3. ∴所求的椭圆方程为 (Ⅱ)若k 不存在.则 .若k 存在.则设直线AB的方程为:y=kx+2 又设A 由得 ① ② ∵点M坐标为M(0.2) ∴ 由 ∴ ∴ 代入①.②得 - ③ ④ 由③.④ 得 ∴ ∴线段AB所在直线的方程为: . 说明:有向线段所成的比.线段的定比分点等概念.本身就是解析几何研究的一类重要问题.向量概念的引入.使这类问题的解决显得简洁而流畅.求解这类问题可以用定比分点公式.也可以直接用有向线段的比解题. 另外.向量的长度.点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系.向量与解析几何的结合.为解决这些问题开辟了新的解题途径. 例11.已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q.且与x轴.y轴分别交于R.S.求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．解:从直线所处的位置, 设出直线的方程, 由已知.直线l不过椭圆的四个顶点.所以设直线l的方程为代入椭圆方程得化简后.得关于的一元二次方程于是其判别式由已知.得△=0．即 ① 在直线方程中.分别令y=0.x=0.求得令顶点P的坐标为(x.y). 由已知.得代入①式并整理.得 , 即为所求顶点P的轨迹方程．说明:方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例12.已知双曲线的离心率 .过的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程, (2)已知直线交双曲线于不同的点C.D且C.D都在以B为圆心的圆上.求k的值. 解:∵(1) 原点到直线AB: 的距离 . 故所求双曲线方程为 (2)把中消去y.整理得 . 设的中点是 .则即故所求k=± . 说明:为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例13.过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A.B两点.O为坐标原点.求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值. 分析:若直接用点斜式设的方程为 .则要求的斜率一定要存在.但在这里的斜率有可能不存在.因此要讨论斜率不存在的情形.为了避免讨论.我们可以设直线的方程为 .这样就包含了斜率不存在时的情形了.从而简化了运算. 解:设A. : 把代入椭圆方程得: .即 . . ∴ .此时令直线的倾角为 .则即△OAB面积的最大值为 .此时直线倾斜角的正切值为 . 例14.已知常数 .向量经过原点O以为方向向量的直线与经过定点A(0.a)以为方向向量的直线相交于点P.其中试问:是否存在两个定点E.F.使得|PE|+|PF|为定值.若存在.求出E.F的坐标,若不存在.说明理由. 解:∵ =. ∴ +λ =. -2λ =. 因此.直线OP和AP的方程分别为和 . 消去参数λ.得点的坐标满足方程 . 整理得 --① 因为所以得: (i)当时.方程①是圆方程.故不存在合乎题意的定点E和F, (ii)当时.方程①表示椭圆.焦点和为合乎题意的两个定点, (iii)当时.方程①也表示椭圆.焦点和为合乎题意的两个定点. 说明:由于向量可以用一条有向线段来表示.有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率.故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系.求解此类问题的关键是:根据直线的方向向量得出直线方程.再转化为解析几何问题解决. 例15.已知椭圆的长.短轴端点分别为A.B.从此椭圆上一点M向x轴作垂线.恰好通过椭圆的左焦点 .向量与是共线向量. (1)求椭圆的离心率e, (2)设Q是椭圆上任意一点. . 分别是左.右焦点.求∠ 的取值范围, 解:(1)∵ .∴ . ∵ 是共线向量.∴ .∴b=c,故 . (2)设当且仅当时.cosθ=0.∴θ . 说明:由于共线向量与解析几何中平行线.三点共线等具有异曲同工的作用.因此.解析几何中与平行线.三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题.求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行.三点共线等的关系.把有关向量的问题转化为解析几何问题. 例16.一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C: ( )交于P.Q.两点.直线与Y轴交于点R.且 . .求直线和椭圆C的方程. 解: 椭圆离心率为 . . 所以椭圆方程为 .设方程为: . 由消去得 -- 所以而所以所以 -- 由由解得 . 适合 . 所以所求直线方程为: 或 ,椭圆C的方程为说明:向量数量积的坐标表示.构建起向量与解析几何的密切关系.使向量与解析几何融为一体.求此类问题的关键是:利用向量数量积的坐标表示.沟通向量与解析几何的联系.体现了向量的工具性. 例17.已知椭圆C的中心在原点.焦点F1.F2在x轴上.点P为椭圆上的一个动点.且∠F1PF2的最大值为90°.直线l过左焦点F1与椭圆交于A.B两点.△ABF2的面积最大值为12． (1)求椭圆C的离心率, (2)求椭圆C的方程．解法一:(1)设 , 对由余弦定理, 得 . 解出 (2)考虑直线的斜率的存在性.可分两种情况: i) 当k存在时.设l的方程为 ------① 椭圆方程为由得 . 于是椭圆方程可转化为 ------② 将①代入②.消去得 , 整理为的一元二次方程.得 . 则x1.x2是上述方程的两根．且 . . AB边上的高 ii) 当k不存在时.把直线代入椭圆方程得由①②知S的最大值为由题意得 =12 所以故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为: 解法二:设过左焦点的直线方程为: ----① 椭圆的方程为: 由得: 于是椭圆方程可化为: --② 把①代入②并整理得: 于是是上述方程的两根. , AB边上的高 , 从而当且仅当m=0取等号.即由题意知 , 于是 . 故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为: 例18.已知两点M且点P使成公差小于零的等差数列. (Ⅰ)点P的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点P坐标为 . 为的夹角.求tanθ. 解:N(1.0)得所以于是. 是公差小于零的等差数列等价于即所以.点P的轨迹是以原点为圆心. 为半径的右半圆. (Ⅱ)点P的坐标为 . . 因为 0〈 . 所以说明:在引入向量的坐标表示后.可以使向量运算代数化.这样就可以将"形"和"数"紧密地结合在一起.向量的夹角问题融入解析几何问题中.也就显得十分自然.求解这类问题的关键是:先把向量用坐标表示.再用解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解,也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题.用数形结合方法使问题获解. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

过点P（4，-1）且与直线3x-4y+6=0平行的直线方程是（　　）

A、3x-4y-16=0

B、4x-3y-19=0

C、4x+3y-13=0

D、3x+4y-8=0

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求与直线3x+4y+2=0平行,且与坐标轴构成的三角形的面积为24(平方单位)的直线l的方程.

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与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是

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