已知平面内两定点F1(0，-

5

)、F2(0，

5

)，动点P满足条件：|

PF1

|-|

PF2

|=4，设点P的轨迹是曲线E，O为坐标原点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若直线y=k（x+1）与曲线E相交于两不同点Q、R，求

OQ

•

OR

的取值范围；
（III）（文科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若

AP

=λ

PB

(λ∈[

1

2

，3])，记x_A、x_B分别为A、B两点的横坐标，求|x_A•x_B|的最小值．
（理科做）设A、B两点分别在直线y=±2x上，若

AP

=λ

PB

(λ∈[

1

2

，3])，求△AOB面积的最大值．

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C₁：y²=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点 
（1）证明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C₂过A、B两点，求曲线C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C₂的两焦点分别为F₁、F₂，线段AB上有两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F₁ F₂上是否存在一点P，使PD=

11

，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．