已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

 

(理)已知函数f(x)=ax²+4(a为非零实数),设函数F(x)=f(x),x＞0,-f(x),x＜0.

(1)若f(-2)=0,求F(x)的表达式;

(2)在(1)的条件下,解不等式1≤|F(x)|≤2;

(3)设mn＜0,m+n＞0,试判断F(m)+F(n)能否大于0?

(文)杭州风景区有一家自行车租车公司,公司设有A、B、C三个营业站,顾客可以从任何一处营业站租车,并在任何一处营业站还车.根据统计发现租车处与还车处有如下的规律性:

①在A站租车者有30%在A站还车,20%在B站还车,50%在C站还车;

②在B站租车者有70%在A站还车,10%在B站还车,20%在C站还车;

③在C站租车者有40%在A站还车,50%在B站还车,10%在C站还车.

记P(XY)表示“某车由X站租出还至Y站的概率”,P(XY)P(YZ)表示“某车由X站租出还至Y站,再由Y站租出还至Z站的概率”.按以上约定的规则,

(1)求P(CC);

(2)求P(AC)P(CB);

(3)设某辆自行车从A站租出,求此车归还至某站再次出租后,回到A站的概率.

已知函数f（x）=

1，(x＞0) 0   (x=0) -1  (x＜0)

下列叙述：
①f（x）是奇函数；
②y=xf（x）为奇函数；
③（x+1）f（x）＜3的解为-2＜x＜2；
④xf（x+1）＜0的解为-1＜x＜1．
其中正确的是．（填序号）