（2007•广州一模）如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连结A₁C、BD．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-BCD的体积．

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，DC=1，tanB=2，点M是梯形ABCD内（含边界）的一个动点，则

AD

•

AM

的最大值是．

（2012•上海模拟）如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M为棱CC₁上一点．
（1）若C1M=

3

2

，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）若C₁M=1，试证明：BM⊥平面A₁B₁M．

（2012•贵阳模拟）如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M为棱CC₁上一点．
（1）若C1M=

3

2

，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）是否存在这样的点M使得BM⊥平面A₁B₁M？若存在，求出C₁M的长；若不存在，请说明理由．