已知

（1）求函数在上的最小值

（2）对一切的恒成立，求实数a的取值范围

（3）证明对一切，都有成立

【解析】第一问中利用

当时，在单调递减，在单调递增，当，即时，，

第二问中，，则设，

则，单调递增，，，单调递减，，因为对一切，恒成立， 

第三问中问题等价于证明，，

由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得

设，，则，易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切，都有成立

解：（1）当时，在单调递减，在单调递增，当，即时，，

                 …………4分

（2），则设，

则，单调递增，，，单调递减，，因为对一切，恒成立，                                             …………9分

（3）问题等价于证明，，

由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得

设，，则，易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切，都有成立

甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数，，及任意的，当甲公司投入万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：

(1)请解释；

(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？

(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入万元，乙在上述策略下，投入最少费用；而甲根据乙的情况，调整宣传费为；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为如此得当甲调整宣传费为时，乙调整宣传费为；试问是否存在，的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.

（本小题满分14分）

　　已知：函数（），．

　　（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；

　　（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

　　（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得不等式和都成立，则称直线为函数与的“分界线”。设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．