已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F₁.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到，又因为，这样可知得到。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到

，再利用可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以椭圆E的方程为…………………………4分

(Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分

 代入椭圆E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x₁ +x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，

圆P的方程为（x+2）²+(y+1)²=4

 

已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆C；其长轴长等于4,离心率为．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解，直线与椭圆的位置关系的运用。

第一问中，可设椭圆的标准方程为 

则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求椭圆C的标准方程为

第二问中，

假设存在这样的直线,设,MN的中点为

 因为|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;

(ii)下面仅考虑情形:

由,得,

,得

代入1,2式中得到范围。

(Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为 

则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2．又,所以,

又由于 

所求椭圆C的标准方程为

 (Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为

 因为|ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;

(ii)下面仅考虑情形:

由,得,

,得……②  ……………………9分

则．

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得．

综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率k的取值范围是

 

已知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交随圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

【解析】（1）离心率为得=，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，b==，解得a²=4，b²=3；（Ⅱ）直线PB的方程为y=k(x-4)

 

已知曲线C:(m∈R)

（1）   若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；

（2）     设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线。

【解析】（1）曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得，所以m的取值范围是

(2)当m=4时，曲线C的方程为，点A,B的坐标分别为，

由，得

因为直线与曲线C交于不同的两点，所以

即

设点M，N的坐标分别为，则

直线BM的方程为，点G的坐标为

因为直线AN和直线AG的斜率分别为

所以

即,故A，G，N三点共线。

 

如图，已知△OFQ的面积为S，且与的乘积等于1．

(1)若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；

(2)设||＝c(c＞2)，S＝c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程．