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    过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面.它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比为 . 解析:由锥体平行于底面的截面性质知.自上而下三锥体的侧面积之比.S侧1∶S侧2∶S侧3= 1∶4∶9.所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5. 答案:1∶3∶5 ●典例剖析 [例1] 已知E.F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A.CC1的中点.求四棱锥C1-B1EDF的体积. 解法一:连结A1C1.B1D1交于O1.过O1作O1H⊥B1D于H. ∵EF∥A1C1. ∴A1C1∥平面B1EDF.∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离. ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF. ∴O1H⊥平面B1EDF.即O1H为棱锥的高. ∵△B1O1H∽△B1DD1. ∴O1H==a. V=S·O1H=··EF·B1D·O1H=··a·a·a=a3. 解法二:连结EF.设B1到平面C1EF的距离为h1.D到平面C1EF的距离为h2.则h1+h2=B1D1=a.∴V=V+V=·S·(h1+h2)= a3. 解法三:V=V-V-V=a3. 特别提示 求体积常见方法有:①直接法,②分割法,③补形法. [例2] 如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是矩形.PA=AB=2.BC=a.又侧棱PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时.BD⊥平面PAC?试证明你的结论. (2)当a=4时.求D点到平面PBC的距离. (3)当a=4时.求直线PD与平面PBC所成的角. 剖析:本题主要考查棱锥的性质.直线.平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识.同时考查空间想象能力.逻辑推理能力和计算能力. 本题主要是在有关的计算中.推理得到所求的问题.因而尽量选择用坐标法计算. 解:(1)以A为坐标原点.以AD.AB.AP所在直线分别为x轴.y轴.z轴建立空间直角坐标系.当a=2时.BD⊥AC.又PA⊥BD.故BD⊥平面PAC.故a=2. (2)当a=4时.D.C.C.P. =.=. 设平面PBC的法向量为n.则n·=0.n·=0.即(x.y.z)·=0.(x.y.z)·=0.得x=0.y=z.取y=1.故n=.则D点到平面PBC的距离d==. (3) =.cos〈.n〉==>0.证〈.n〉=α.设直线PD与平面PBC所成的角为θ.则sinθ=sin(-α)=cosα=. 所以直线PD与平面PBC所成的角为arcsin. [例3] 如图.设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°.又∠BAC=60°.且SA⊥BC. (1)求证:S-ABC为正三棱锥, (2)已知SA=a.求S-ABC的全面积. (1)证明:正棱锥的定义中.底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心.两个条件缺一不可.作三棱锥S-ABC的高SO.O为垂足.连结AO并延长交BC于D. 因为SA⊥BC.所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等.从而O为△ABC的外心.OD为BC的垂直平分线.所以AB=AC.又∠BAC=60°.故△ABC为正三角形.且O为其中心.所以S-ABC为正三棱锥. (2)解:只要求出正三棱锥S-ABC的侧高SD与底面边长.则问题易于解决.在Rt△SAO中.由于SA=a.∠SAO=60°.所以SO=a.AO=a.因O为重心.所以AD=AO=a.BC=2BD=2ADcot60°=a.OD=AD=a. 在Rt△SOD中.SD2=SO2+OD2=(a)2+(a)2=.则SD=a. 于是.(SS-ABC)全=·(a)2sin60°+3··a·a=a2. 深化拓展 (1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S正棱锥底=cosα·S正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角).就本题cosα=.S=a2.所以(SS-ABC)侧=a2÷=a2.于是也可求出全面积. (2)注意到高SO=a.底面边长BC=a是相等的.因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质.反之亦真. (3)正三棱锥中.若侧棱与底面边长相等.则变成四个面都是正三角形的三棱锥.这时可称为正四面体.因此正四面体是特殊的正三棱锥.但正三棱锥不一定是正四面体. ●闯关训练 夯实基础 【查看更多】

     

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    10、过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为
    1：3：5
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    过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面,它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比(自上而下)为___________________.

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    过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为　　．

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